Considere os pontos A(15/2, -3/2), B=(4, 1/2) e C = (6, 4). Determine: As medidas dos ângulos internos do triângulo ABC .

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos três pontos no plano, , e , que formam um triângulo ABC. Nosso objetivo é determinar as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da distância para encontrar os lados do triângulo e a Lei dos Cossenos para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as medidas dos lados do triângulo ABC. Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Vamos calcular as distâncias , e .

Passo 3

Calculando a distância entre A e B:

Passo 4

Calculando a distância entre B e C:

Passo 5

Calculando a distância entre A e C:

Passo 6

Agora que temos as medidas dos lados, vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos internos. A Lei dos Cossenos é dada por:
Onde theta é o ângulo oposto ao lado a.

Passo 7

Vamos encontrar o ângulo em A, que corresponde ao lado .
Substituindo os valores:
Calculando o ângulo:

Passo 8

Vamos encontrar o ângulo em B, que corresponde ao lado .
Substituindo os valores:
Isso significa que o ângulo em B é de .

Passo 9

Finalmente, encontramos o ângulo em C. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é . Então:

Resposta

As medidas dos ângulos internos do triângulo ABC são aproximadamente:

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