Considere os pontos A=(0,1,5), B=(1,0,2) e C=(-1,1,1).
Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam vértices de um retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A missão é encontrar o ponto de forma que os quatro pontos formem os vértices de um retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de retângulos na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um retângulo, os lados opostos são iguais e os ângulos são retos (90 graus). Então, precisamos encontrar um ponto onde as distâncias e sejam iguais, e seja perpendicular a .

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = B - A = (1-0, 0-1, 2-5) = (1, -1, -3) e o vetor . O vetor é dado pela diferença das coordenadas de e :

Passo 4

Sabemos que para AD = D - A = (x-0, y-1, z-5) = (x, y-1, z-5) ser perpendicular a 1 cdot x + (-1) cdot (y-1) + (-3) cdot (z-5) = 0 , o produto escalar desses vetores deve ser zero. Vamos chamar x - y + 1 - 3z + 15 = 0 Rightarrow x - y - 3z + 16 = 0 . Então, o vetor é:
O produto escalar deve ser zero:
Simplificando:

Passo 5

Além disso, as distâncias |AB| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 e |AD| = raizx^2 + (y-1)^2 + (z-5)^2 = raiz11 devem ser iguais. Vamos calcular a magnitude de x^2 + (y-1)^2 + (z-5)^2 = 11 :
Igualando à magnitude de :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. x = y + 3z - 16
  2. (y + 3z - 16)^2 + (y-1)^2 + (z-5)^2 = 11
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Substituindo na segunda equação:
Expandindo e simplificando essa equação, podemos encontrar valores de e , e consequentemente de .

Passo 7

Após resolver o sistema, encontramos que o ponto D = (2, 3, 4) é:

Resposta

O ponto que completa o retângulo com os vértices , e é .

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