Considere os pontos
e
.
Determine o ponto
tal que
,
e
sejam vértices de um retângulo.
Determine o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional:
,
e
. A missão é encontrar o ponto
de forma que os quatro pontos formem os vértices de um retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de retângulos na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um retângulo, os lados opostos são iguais e os ângulos são retos (90 graus). Então, precisamos encontrar um ponto
onde as distâncias
e
sejam iguais, e
seja perpendicular a
.
Passo 3
Vamos calcular o vetor
e o vetor
. O vetor
é dado pela diferença das coordenadas de
e
:
Passo 4
Sabemos que para
ser perpendicular a
, o produto escalar desses vetores deve ser zero. Vamos chamar
. Então, o vetor
é:
O produto escalar
deve ser zero:
Simplificando:
Passo 5
Além disso, as distâncias
e
devem ser iguais. Vamos calcular a magnitude de
:
Igualando à magnitude de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo e simplificando essa equação, podemos encontrar valores de
e
, e consequentemente de
.
Passo 7
Após resolver o sistema, encontramos que o ponto
é:
Resposta
O ponto
que completa o retângulo com os vértices
,
e
é
.