Determine uma equação reduzida, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Eboce o gráfico. 4 x^2+9 y^2-36 x+18 y+36=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse: . Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma reduzida da elipse, encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e, se possível, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar a teoria das conic sections, especificamente das elipses, e técnicas de completamento de quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 4x^2 - 36x + 9y^2 + 18y + 36 = 0 e 4x^2 - 36x + 9y^2 + 18y = -36:
Agora, vamos separar os termos de e e deixar espaço para completar o quadrado:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 - 9x) + 9y^2 + 18y = -36. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2 - 9x:
x^2 - 9x + 814 - 814 = (x - 92)^2 - 814
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
4((x - 92)^2 - 814) = 4(x - 92)^2 - 81
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Multiplicando de volta pelo 4:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 4(x - 92)^2 - 81 + 9(y^2 + 2y) = -36. Fatoramos o coeficiente de y^2 + 2y:
y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1
Completando o quadrado para 9((y + 1)^2 - 1) = 9(y + 1)^2 - 9:
Adicionamos e subtraímos :
Multiplicando de volta pelo 9:

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
4(x - 92)^2 - 81 + 9(y + 1)^2 - 9 = -36
Simplificando os constantes:
-81 - 9 = -90
Então:
4(x - 92)^2 + 9(y + 1)^2 - 90 = -36
Adicionamos 90 aos dois lados:
4(x - 92)^2 + 9(y + 1)^2 = 54

Passo 6

Para chegar na forma reduzida da elipse, que é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Dividimos toda a equação por 54:
4(x - 92)^254 + 9(y + 1)^254 = 1
Simplificando as frações:
(x - 92)^2544 + (y + 1)^2549 = 1
Que fica:
(x - 92)^213.5 + (y + 1)^26 = 1

Passo 7

Agora que temos a forma reduzida, podemos identificar o centro, os valores de e :
  • Centro:
  • então
  • então
Como , a elipse está alongada no eixo .

Passo 8

Para encontrar os vértices, movemos c = raiz13.5 - 6 = raiz7.5 = raiz302 unidades a partir do centro ao longo do eixo maior (no caso, o eixo ):
  • Vértice direito:
  • Vértice esquerdo:
Os focos são encontrados usando a fórmula :
Então, os focos ficam:
  • Foco direito:
  • Foco esquerdo:

Passo 9

A excentricidade e = ca = raiz3023raiz62 = raiz303raiz6 = raiz53 da elipse é dada por:

Resposta

A equação reduzida da elipse é . O centro está em . Os vértices são , os focos estão em e a excentricidade é . O gráfico seria uma elipse alongada no eixo com o centro e pontos mencionados.

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