Determine uma equação reduzida, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Eboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma reduzida da elipse, encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e, se possível, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar a teoria das conic sections, especificamente das elipses, e técnicas de completamento de quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Agora, vamos separar os termos de
e
e deixar espaço para completar o quadrado:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Multiplicando de volta pelo 4:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado para
:
Adicionamos e subtraímos
:
Multiplicando de volta pelo 9:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificando os constantes:
Então:
Adicionamos 90 aos dois lados:
Passo 6
Para chegar na forma reduzida da elipse, que é:
Dividimos toda a equação por 54:
Simplificando as frações:
Que fica:
Passo 7
Agora que temos a forma reduzida, podemos identificar o centro, os valores de
e
:
- Centro:
-
então -
então
Como
, a elipse está alongada no eixo
.
Passo 8
Para encontrar os vértices, movemos
unidades a partir do centro ao longo do eixo maior (no caso, o eixo
):
- Vértice direito:
- Vértice esquerdo:
Os focos são encontrados usando a fórmula
:
Então, os focos ficam:
- Foco direito:
- Foco esquerdo:
Passo 9
A excentricidade
da elipse é dada por:
Resposta
A equação reduzida da elipse é
. O centro está em
. Os vértices são
, os focos estão em
e a excentricidade é
. O gráfico seria uma elipse alongada no eixo
com o centro e pontos mencionados.
Exercícios relacionados
Considere os pontos
e
:
Verifique se o triângulo de vértices e
é retângulo;
Verifique se o triângulo de vértices
Justifique, com argumentos ou contraexemplos, que os conjuntos abaixo não são (necessariamente) subespaços vetoriais.
Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 :
Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 :
Considere os pontos
e
.
Determine o ponto tal que
,
e
sejam vértices de um retângulo.
Determine o ponto
Considere os pontos
e
.
Qual a área deste retângulo?
Qual a área deste retângulo?