Determine uma equação reduzida, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Eboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse: . Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma reduzida da elipse, encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e, se possível, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar a teoria das conic sections, especificamente das elipses, e técnicas de completamento de quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e :
Agora, vamos separar os termos de e e deixar espaço para completar o quadrado:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Multiplicando de volta pelo 4:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de . Fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado para :
Adicionamos e subtraímos :
Multiplicando de volta pelo 9:

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
Simplificando os constantes:
Então:
Adicionamos 90 aos dois lados:

Passo 6

Para chegar na forma reduzida da elipse, que é:
Dividimos toda a equação por 54:
Simplificando as frações:
Que fica:

Passo 7

Agora que temos a forma reduzida, podemos identificar o centro, os valores de e :
  • Centro:
  • então
  • então
Como , a elipse está alongada no eixo .

Passo 8

Para encontrar os vértices, movemos unidades a partir do centro ao longo do eixo maior (no caso, o eixo ):
  • Vértice direito:
  • Vértice esquerdo:
Os focos são encontrados usando a fórmula :
Então, os focos ficam:
  • Foco direito:
  • Foco esquerdo:

Passo 9

A excentricidade da elipse é dada por:

Resposta

A equação reduzida da elipse é . O centro está em . Os vértices são , os focos estão em e a excentricidade é . O gráfico seria uma elipse alongada no eixo com o centro e pontos mencionados.

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