Considere os pontos A=(1,1), B=(3,2) e C=(-1,2) :
Calcule a altura do triângulo de vértices A, B e C relativa ao lado A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . Queremos encontrar a altura desse triângulo em relação ao lado . Para isso, vamos precisar calcular a distância do ponto até a linha que passa pelos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura de um triângulo em relação a um lado. A altura é uma linha perpendicular a um dos lados do triângulo que parte do vértice oposto. No nosso caso, queremos a altura relativa a , que parte do ponto e é perpendicular a .

Passo 3

Para encontrar essa altura, precisamos primeiro determinar a equação da reta que passa pelos pontos y = m x + b e . Vamos usar a fórmula da equação da reta:
onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

Passo 4

Calculando o coeficiente angular m = yC - yAxC - xA = 2 - 1-1 - 1 = 1-2 = -12 da reta 1 = -12(1) + b Rightarrow 1 = -12 + b Rightarrow b = 32 :
y = -12x + 32
Agora, usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da reta é:

Passo 5

Agora, para encontrar a distância do ponto d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 até a reta y = -12x + 32 Rightarrow 12x + y - 32 = 0 , usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta :
Primeiro, precisamos reescrever a equação de na forma :
Aqui, , e .

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = | 12(3) + 1(2) - 32 |raiz( 12 )^2 + 1^2 = | 32 + 2 - 32 |raiz 14 + 1 = |2|raiz 54 = 2raiz52 = 4raiz5 = 4 raiz55

Resposta

A altura do triângulo em relação ao lado é unidades.

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