Justifique, com argumentos ou contraexemplos, que os conjuntos abaixo não são (necessariamente) subespaços vetoriais.
Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que um certo conjunto de polinômios não é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços, que são conceitos de Álgebra Linear. Precisamos verificar os critérios que definem um subespaço para ver se esse conjunto específico atende a todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os requisitos para um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero: O conjunto precisa ter o vetor que é zero em todos os componentes.
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar esses critérios ao nosso conjunto .
Passo 3
Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio , que pode ser escrito como . Aqui, , mas no nosso conjunto , temos a condição que . Isso significa que o polinômio zero não está em .
Passo 4
Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não satisfaz um dos critérios essenciais para ser um subespaço vetorial. Não importa se ele é fechado sob adição ou multiplicação por escalar, a ausência do vetor zero já impede que seja um subespaço.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial porque não contém o vetor zero, já que para todo polinômio em , o coeficiente é diferente de zero.