Considere o subespaço de definido por . Escreva o vetor [cc-5 & 2 -3 & -1] como combinação linear dos vetores da base encontrada para U.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escrever a matriz -5 & 2 -3 & -1 como uma combinação linear de vetores que formam uma base para o subespaço de todas as matrizes que satisfazem a condição . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar uma matriz como combinação linear dessas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quais matrizes pertencem a a & b c & d . Temos que qualquer matriz a = 2c - d em deve satisfazer a equação . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:
Passo 3
Agora, podemos reescrever a matriz em a & b c & d = 2c - d & b c & d usando essa relação:
Aqui, , e são os parâmetros livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles.
Passo 4
Para encontrar uma base de 0 & 1 0 & 0 , vamos considerar cada parâmetro livre separadamente, assumindo os outros como zero:
Se 2 & 0 1 & 0 , -1 & 0 0 & 1 , :
Se , , :
Se , , :
Essas três matrizes são vetores que formam uma base para .
Passo 5
Agora, queremos expressar a matriz -5 & 2 -3 & -1 como uma combinação linear dessas três bases. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de x 0 & 1 0 & 0 + y 2 & 0 1 & 0 + z -1 & 0 0 & 1 = -5 & 2 -3 & -1 , e :
Passo 6
Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
Para a posição (1,1):
0x + 2y - z = -5
Para a posição (1,2):
x + 0y + 0z = 2
Para a posição (2,1):
0x + y + 0z = -3
Para a posição (2,2):
0x + 0y + z = -1
Passo 7
Resolvendo as equa��ões:
Da segunda equação:
x = 2
Da terceira equação:
y = -3
Da quarta equação:
z = -1
Vamos verificar a primeira equação para confirmar:
0(2) + 2(-3) - (-1) = -6 + 1 = -5
Está tudo certinho!
Resposta
A matriz -5 & 2 -3 & -1 pode ser escrita como a combinação linear: