Considere o subespaço de definido por . Escreva o vetor como combinação linear dos vetores da base encontrada para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escrever a matriz como uma combinação linear de vetores que formam uma base para o subespaço de todas as matrizes que satisfazem a condição . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar uma matriz como combinação linear dessas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quais matrizes pertencem a . Temos que qualquer matriz em deve satisfazer a equação . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:

Passo 3

Agora, podemos reescrever a matriz em usando essa relação:
Aqui, , e são os parâmetros livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles.

Passo 4

Para encontrar uma base de , vamos considerar cada parâmetro livre separadamente, assumindo os outros como zero:
  1. Se , , :
  2. Se , , :
  3. Se , , :
Essas três matrizes são vetores que formam uma base para .

Passo 5

Agora, queremos expressar a matriz como uma combinação linear dessas três bases. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de , e :

Passo 6

Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
  2. Para a posição (1,2):
  3. Para a posição (2,1):
  4. Para a posição (2,2):

Passo 7

Resolvendo as equa��ões:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:
  • Da quarta equação:
  • Vamos verificar a primeira equação para confirmar:
    Está tudo certinho!

Resposta

A matriz pode ser escrita como a combinação linear:

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Os vetores e sejam paralelos com e .
Determine o valor de x tal que:
Os vetores e sejam perpendiculares;
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Calcule a altura do triângulo de vértices e relativa ao lado .
Justifique, com argumentos ou contraexemplos, que os conjuntos abaixo não são (necessariamente) subespaços vetoriais.
Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 :