Considere o subespaço U de M2(R) definido por U=[lla & b c & d] rvert, a-2 c+d=0. Escreva o vetor [cc-5 & 2 -3 & -1] como combinação linear dos vetores da base encontrada para U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escrever a matriz -5 & 2 -3 & -1 como uma combinação linear de vetores que formam uma base para o subespaço de todas as matrizes que satisfazem a condição . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar uma matriz como combinação linear dessas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quais matrizes pertencem a a & b c & d . Temos que qualquer matriz a = 2c - d em deve satisfazer a equação . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:

Passo 3

Agora, podemos reescrever a matriz em a & b c & d = 2c - d & b c & d usando essa relação:
Aqui, , e são os parâmetros livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles.

Passo 4

Para encontrar uma base de 0 & 1 0 & 0 , vamos considerar cada parâmetro livre separadamente, assumindo os outros como zero:
  1. Se 2 & 0 1 & 0 , -1 & 0 0 & 1 , :
  2. Se , , :
  3. Se , , :
Essas três matrizes são vetores que formam uma base para .

Passo 5

Agora, queremos expressar a matriz -5 & 2 -3 & -1 como uma combinação linear dessas três bases. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de x 0 & 1 0 & 0 + y 2 & 0 1 & 0 + z -1 & 0 0 & 1 = -5 & 2 -3 & -1 , e :

Passo 6

Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
    0x + 2y - z = -5
  2. Para a posição (1,2):
    x + 0y + 0z = 2
  3. Para a posição (2,1):
    0x + y + 0z = -3
  4. Para a posição (2,2):
    0x + 0y + z = -1

Passo 7

Resolvendo as equa��ões:
  • Da segunda equação:
    x = 2
  • Da terceira equação:
    y = -3
  • Da quarta equação:
    z = -1
  • Vamos verificar a primeira equação para confirmar:
    0(2) + 2(-3) - (-1) = -6 + 1 = -5
    Está tudo certinho!

Resposta

A matriz -5 & 2 -3 & -1 pode ser escrita como a combinação linear:
2 0 & 1 0 & 0 - 3 2 & 0 1 & 0 - 1 -1 & 0 0 & 1

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