Considere o subespaço de definido por . Escreva o vetor como combinação linear dos vetores da base encontrada para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escrever a matriz como uma combinação linear de vetores que formam uma base para o subespaço de todas as matrizes que satisfazem a condição . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar uma matriz como combinação linear dessas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quais matrizes pertencem a . Temos que qualquer matriz em deve satisfazer a equação . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher para isolar:
Passo 3
Agora, podemos reescrever a matriz em usando essa relação:
Aqui, , e são os parâmetros livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles.
Passo 4
Para encontrar uma base de , vamos considerar cada parâmetro livre separadamente, assumindo os outros como zero:
Se , , :
Se , , :
Se , , :
Essas três matrizes são vetores que formam uma base para .
Passo 5
Agora, queremos expressar a matriz como uma combinação linear dessas três bases. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de , e :
Passo 6
Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (2,1):
Para a posição (2,2):
Passo 7
Resolvendo as equa��ões:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da quarta equação:
Vamos verificar a primeira equação para confirmar:
Está tudo certinho!
Resposta
A matriz pode ser escrita como a combinação linear: