Determine o valor de x tal que:
Os vetores e P R sejam paralelos com P=(x^2, 1,-1), Q=(x^2, x, 1) e R=(x^2, x^2, 1).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A tarefa é encontrar o valor de para que os vetores e sejam paralelos. Para resolver isso, vamos utilizar noções de vetores e condições de paralelismo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores PQ = Q - P = (x^2 - x^2, x - 1, 1 - (-1)) = (0, x - 1, 2) e PR = R - P = (x^2 - x^2, x^2 - 1, 1 - (-1)) = (0, x^2 - 1, 2) . O vetor é obtido subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Da mesma forma, o vetor é:
Passo 3
Agora, queremos que PQ = k cdot PR e (0, x - 1, 2) = k cdot (0, x^2 - 1, 2) sejam vetores paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo do outro. Isso significa que existe um escalar tal que:
Aplicando isso às coordenadas dos vetores:
Passo 4
Igualando as componentes correspondentes dos vetores, temos:
0 = k cdot 0 (primeira componente)
x - 1 = k cdot (x^2 - 1) (segunda componente)
2 = k cdot 2 (terceira componente)
Da terceira equação, podemos resolver para 2 = k cdot 2 implies k = 22 = 1 :
Passo 5
Agora que sabemos que x - 1 = 1 cdot (x^2 - 1) implies x - 1 = x^2 - 1 , substituímos na segunda equação:
x = x^2
Simplificando:
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
Passo 6
Resolvendo a equação x = 0 ou x = 1 , encontramos:
Resposta
Os valores de que tornam os vetores e paralelos são e .