Considere os pontos A=(1,0,2), B=(2,1,1) e C=(3,1,0)
Caso eles não sejam colineares, determine a equação do plano que os contém.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A questão quer saber se esses pontos não estão todos em uma linha reta (não são colineares) e, se for o caso, determinar a equação do plano que passa por eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os pontos , e são colineares. Se eles estiverem em uma linha reta, não será possível definir um plano único que os contenha. Para isso, vamos calcular os vetores e e ver se um é múltiplo do outro.

Passo 3

Calculando os vetores:
AB = B - A = (2-1,,1-0,,1-2) = (1,,1,,-1)
AC = C - A = (3-1,,1-0,,0-2) = (2,,1,,-2)
Agora, vamos ver se existe algum número tal que . Se não existir, os pontos não são colineares.

Passo 4

Vamos comparar as componentes:
2 = k cdot 1 Rightarrow k = 2
1 = k cdot 1 Rightarrow k = 1
-2 = k cdot (-1) Rightarrow k = 2
Aqui vemos que não é o mesmo para todas as componentes (temos e ). Isso significa que e não são múltiplos um do outro, então os pontos , e não são colineares.

Passo 5

Como os pontos não são colineares, podemos encontrar a equação do plano que os contém. Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor calculando o produto vetorial entre e .

Passo 6

Calculando o produto vetorial AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -1 2 & 1 & -2 :
= i(1 cdot -2 - (-1) cdot 1) - j(1 cdot -2 - (-1) cdot 2) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 2)
= i(-2 +1) - j(-2 +2) + k(1 -2)
= -i + 0j -k
Então, o vetor normal é .

Passo 7

Com o vetor normal n cdot ( r - r0 ) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano e é o ponto dado.

Passo 8

Aplicando os valores:
(-1)(x - 1) + 0(y - 0) + (-1)(z - 2) = 0
Simplificando:
- x + 1 - z + 2 = 0
- x - z + 3 = 0
Multiplicando a equação por -1 para simplificar:
x + z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano que contém os pontos x + z - 3 = 0 , e é:

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