Seja
o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos
e
. Encontre a distância do ponto
ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano, chamado de
, que passa pela origem e é perpendicular à reta que liga os pontos
e
. Nosso objetivo é descobrir qual é a distância do ponto
até esse plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, planos e a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa por
e
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
de
:
Esse vetor
nos dá a direção da reta.
Passo 3
Como o plano
é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta é também normal ao plano. Então, o vetor normal ao plano
é
.
Passo 4
A equação de um plano pode ser escrita como:
Onde
é o vetor normal,
é um vetor posição qualquer no plano, e
é a distância do plano à origem. Como o plano passa pela origem,
. Portanto, a equação do plano
fica:
Passo 5
Agora, para encontrar a distância do ponto
ao plano
, usamos a fórmula da distância de um ponto
a um plano
:
No nosso caso, a equação do plano é
, que podemos reescrever como
. Então,
,
,
, e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
No entanto, isso indica que o ponto
está no próprio plano
. Mas isso não bate com as coordenadas do ponto
e a equação do plano
. Vamos revisar:
Substituindo
na equação do plano:
Isso confirma que o ponto
está realmente no plano
, portanto, a distância é zero.
Resposta
A distância do ponto
ao plano
é
unidades.