Seja o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e . Encontre a distância do ponto ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano, chamado de , que passa pela origem e é perpendicular à reta que liga os pontos e . Nosso objetivo é descobrir qual é a distância do ponto até esse plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, planos e a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa por e . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :
Esse vetor nos dá a direção da reta.
Passo 3
Como o plano é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta é também normal ao plano. Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
A equação de um plano pode ser escrita como:
Onde é o vetor normal, é um vetor posição qualquer no plano, e é a distância do plano à origem. Como o plano passa pela origem, . Portanto, a equação do plano fica:
Passo 5
Agora, para encontrar a distância do ponto ao plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e .
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
No entanto, isso indica que o ponto está no próprio plano . Mas isso não bate com as coordenadas do ponto e a equação do plano . Vamos revisar:
Substituindo na equação do plano:
Isso confirma que o ponto está realmente no plano , portanto, a distância é zero.