Seja pi o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Encontre a distância do ponto C=(0,0,1) ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano, chamado de pi, que passa pela origem e é perpendicular à reta que liga os pontos A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Nosso objetivo é descobrir qual é a distância do ponto C=(0,0,1) até esse plano pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, planos e a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa por A e B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A de B:
AB = B - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
Esse vetor AB = (-1, 1, 0) nos dá a direção da reta.

Passo 3

Como o plano pi é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta é também normal ao plano. Então, o vetor normal ao plano pi é n = (-1, 1, 0).

Passo 4

A equação de um plano pode ser escrita como:
n cdot r = d
Onde n é o vetor normal, r é um vetor posição qualquer no plano, e d é a distância do plano à origem. Como o plano passa pela origem, d=0. Portanto, a equação do plano pi fica:
-1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = 0 Rightarrow -x + y = 0

Passo 5

Agora, para encontrar a distância do ponto C=(0,0,1) ao plano pi, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, a equação do plano é -x + y = 0, que podemos reescrever como -x + y + 0z + 0 = 0. Então, A = -1, B = 1, C = 0, e D = 0.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |-1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0|raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 0raiz1 + 1 + 0 = 0raiz2 = 0

Passo 7

No entanto, isso indica que o ponto C está no próprio plano pi. Mas isso não bate com as coordenadas do ponto C=(0,0,1) e a equação do plano -x + y = 0. Vamos revisar:
Substituindo C na equação do plano:
-0 + 0 = 0
Isso confirma que o ponto C está realmente no plano pi, portanto, a distância é zero.

Resposta

A distância do ponto C=(0,0,1) ao plano pi é 0 unidades.

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