Determine se as retas r1 : lx=3-4 t y=4+t z=1=1 t in R e x+12=y-76=z-52
são paralelas, reversas ou concorrentes e determine o ângulo formado por elas.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos analisar a relação entre duas retas no espaço tridimensional. O problema pede para determinar se as retas são paralelas, reversas (não se intersectam e não são paralelas) ou concorrentes (intersectam-se em um ponto). Além disso, devemos calcular o ângulo formado entre elas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas e simétricas das retas, bem como utilizar conceitos de vetores e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas fornecidas:
A reta x = 3 - 4t y = 4 + t z = 1 , t in R é dada por:
x + 12 = y - 76 = z - 52
A reta é dada na forma simétrica:
Para facilitar a comparação, vamos reescrever ambas as retas em forma paramétrica.

Passo 3

Para a reta r1: x = 3 - 4t y = 4 + t z = 1 , já temos a forma paramétrica:
x + 12 = y - 76 = z - 52 = s
Aqui, o vetor diretor de x = 2s - 1 y = 6s + 7 z = 2s + 5 é .
Para a reta , vamos converter a forma simétrica para a paramétrica. Podemos igualar todas as expressões a um parâmetro :
Assim, temos:
Logo, o vetor diretor de é .

Passo 4

Agora, para determinar se as retas são paralelas, reversas ou concorrentes, precisamos analisar os vetores diretores e verificar se há um ponto em comum.
Primeiro, verificamos se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Vamos verificar se existe um número d2 = k cdot d1 tal que:
(2, 6, 2) = k cdot (-4, 1, 0)
Ou seja:
2 = -4k Rightarrow k = -12
Resolvendo:
6 = 1k Rightarrow k = 6
2 = 0k Rightarrow k não está definido
ãá
Como não existe um único que satisfaça todas as componentes, os vetores não são paralelos. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, agora vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Igualamos as equações paramétricas das duas retas:
3 - 4t = 2s - 1 (1)
4 + t = 6s + 7 (2)
1 = 2s + 5 (3)
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar valores de 1 = 2s + 5 Rightarrow 2s = -4 Rightarrow s = -2 e 3 - 4t = 2(-2) - 1 Rightarrow 3 - 4t = -5 Rightarrow -4t = -8 Rightarrow t = 2 que satisfaçam todas as três equações.
Da equação (3):
4 + 2 = 6(-2) + 7 Rightarrow 6 = -12 + 7 Rightarrow 6 = -5
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo na equação (2):
Esta igualdade não é verdadeira, o que significa que não existe um ponto comum às duas retas. Portanto, as retas são reversas.

Passo 6

Como as retas são reversas, não se intersectam, mas ainda podemos calcular o ângulo entre elas usando os vetores diretores.
O ângulo costheta = d1 cdot d2|d1| |d2| entre dois vetores d1 cdot d2 = (-4)(2) + (1)(6) + (0)(2) = -8 + 6 + 0 = -2 e |d1| = raiz(-4)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz16 + 1 + 0 = raiz17 é dado por:
|d2| = raiz2^2 + 6^2 + 2^2 = raiz4 + 36 + 4 = raiz44 = 2raiz11
Onde:
  • costheta = -2raiz17 cdot 2raiz11 = -22raiz187 = -1raiz187 approx -0,0733 é o produto escalar dos vetores.
  • theta = arccos(-0,0733) approx 94,2^circ e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Portanto:

Resposta

As retas e são reversas e formam um ângulo de aproximadamente entre si.

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