Determine se as retas : e x+12=y-76=z-52
são paralelas, reversas ou concorrentes e determine o ângulo formado por elas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos analisar a relação entre duas retas no espaço tridimensional. O problema pede para determinar se as retas são paralelas, reversas (não se intersectam e não são paralelas) ou concorrentes (intersectam-se em um ponto). Além disso, devemos calcular o ângulo formado entre elas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas e simétricas das retas, bem como utilizar conceitos de vetores e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas fornecidas:
A reta x = 3 - 4t y = 4 + t z = 1 , t in R é dada por:
x + 12 = y - 76 = z - 52
A reta é dada na forma simétrica:
Para facilitar a comparação, vamos reescrever ambas as retas em forma paramétrica.
Passo 3
Para a reta r1: x = 3 - 4t y = 4 + t z = 1 , já temos a forma paramétrica:
x + 12 = y - 76 = z - 52 = s
Aqui, o vetor diretor de x = 2s - 1 y = 6s + 7 z = 2s + 5 é .
Para a reta , vamos converter a forma simétrica para a paramétrica. Podemos igualar todas as expressões a um parâmetro :
Assim, temos:
Logo, o vetor diretor de é .
Passo 4
Agora, para determinar se as retas são paralelas, reversas ou concorrentes, precisamos analisar os vetores diretores e verificar se há um ponto em comum.
Primeiro, verificamos se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Vamos verificar se existe um número d2 = k cdot d1 tal que:
(2, 6, 2) = k cdot (-4, 1, 0)
Ou seja:
2 = -4k Rightarrow k = -12
Resolvendo:
6 = 1k Rightarrow k = 6
2 = 0k Rightarrow k não está definido
ãá
Como não existe um único que satisfaça todas as componentes, os vetores não são paralelos. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 5
Como as retas não são paralelas, agora vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Igualamos as equações paramétricas das duas retas:
3 - 4t = 2s - 1 (1)
4 + t = 6s + 7 (2)
1 = 2s + 5 (3)
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar valores de 1 = 2s + 5 Rightarrow 2s = -4 Rightarrow s = -2 e 3 - 4t = 2(-2) - 1 Rightarrow 3 - 4t = -5 Rightarrow -4t = -8 Rightarrow t = 2 que satisfaçam todas as três equações.