Considere os pontos e . Determine o volume do paralelepípedo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelos pontos e . Isso envolve geometria analítica e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar trabalhar com vetores e calcular o produto misto deles, que nos dá o volume do paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam o paralelepípedo a partir do ponto . Esses vetores serão , e .
Calculando cada um deles:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois iniciais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
Passo 4
Agora que temos (AB times AC) cdot AD = (-2)(6) + (-2)(-1) + (6)(1) = -12 + 2 + 6 = -4 , vamos calcular o produto escalar desse resultado com . O produto escalar entre dois vetores nos dá um número que, nesse caso, representa o volume do paralelepípedo quando tomamos o valor absoluto.