Considere os pontos A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5). Determine o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelos pontos e . Isso envolve geometria analítica e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar trabalhar com vetores e calcular o produto misto deles, que nos dá o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam o paralelepípedo a partir do ponto AB = B - A = (2-1, 4-2, 3-2) = (1, 2, 1) . Esses vetores serão AC = C - A = (-1-1, 4-2, 2-2) = (-2, 2, 0) , AD = D - A = (7-1, 1-2, 3-2) = (6, -1, 1) e .
Calculando cada um deles:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 1 -2 & 2 & 0 = i(2 cdot 0 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-2)) + k(1 cdot 2 - 2 cdot (-2)) e = i(-2) - j(2) + k(6) . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois iniciais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por = (-2, -2, 6) e .

Passo 4

Agora que temos (AB times AC) cdot AD = (-2)(6) + (-2)(-1) + (6)(1) = -12 + 2 + 6 = -4 , vamos calcular o produto escalar desse resultado com . O produto escalar entre dois vetores nos dá um número que, nesse caso, representa o volume do paralelepípedo quando tomamos o valor absoluto.

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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