Determine, caso existam, os valores de para que os vetores e sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar os valores de que fazem com que os vetores , e sejam coplanares.
Conteúdo da matéria: Álgebra Vetorial, especificamente a condição de coplanaridade de vetores.
O que vamos precisar: Vamos usar o produto misto (também conhecido como produto escalar triplo) para verificar se os vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se estiverem todos no mesmo plano, ou seja, se um deles puder ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Uma maneira prática de verificar isso é calculando o produto misto dos três vetores. Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares.

Passo 3

O produto misto de três vetores , e é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Para que os vetores sejam coplanares, esse determinante precisa ser igual a zero:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante. Lembrando que o determinante de uma matriz 3x3 pode ser expandido da seguinte forma:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro menor:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:

Passo 6

Substituindo os valores dos menores de volta na expressão do determinante:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação quadrática para facilitar a resolução:
Multiplicando todos os termos por para deixar o termo quadrático positivo:

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Percebemos que dentro da raiz temos um número negativo ( ), o que significa que não existem soluções reais para essa equação.

Resposta

Não existem valores reais de que fazem os vetores , e serem coplanares.

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a)
Determine .
b) e