$(Vale 1,0 ponto) A aplicação definida por é uma transformação linear? Justifique

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: será que essa função é uma transformação linear? Para descobrir isso, precisamos conhecer os conceitos básicos de transformações lineares e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Para que a aditividade seja válida, precisaríamos que para todos os e , o que nem sempre é verdade.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja um escalar e . Então:
Por outro lado:
Para que a homogeneidade seja válida, precisaríamos que para todos os e . Isso só ocorre se for não negativo. Se for negativo, , o que viola a propriedade.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todos os vetores e escalares.

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