$(Vale 1,0 ponto) A aplicação
definida por
é uma transformação linear? Justifique
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. A pergunta é: será que essa função é uma transformação linear? Para descobrir isso, precisamos conhecer os conceitos básicos de transformações lineares e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Para que a aditividade seja válida, precisaríamos que
para todos os
e
, o que nem sempre é verdade.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Por outro lado:
Para que a homogeneidade seja válida, precisaríamos que
para todos os
e
. Isso só ocorre se
for não negativo. Se
for negativo,
, o que viola a propriedade.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todos os vetores e escalares.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule a area do paralelogramo
que tem como arestas adjacentes os segmentos
e
.
Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? © O conjunto
formado pelas funções
tais que
para todo
.
Considere os pontos
e
. Determine o volume do paralelepípedo de vértices
e
.
Determine, caso existam, os valores de
para que os vetores
e
sejam coplanares.