$(Vale 1,0 ponto) A aplicação (Va<= 1,0 ponto) A aplicação definida por definida por é uma transformação linear? Justifique

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: será que essa função é uma transformação linear? Para descobrir isso, precisamos conhecer os conceitos básicos de transformações lineares e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (|x1 + x2|, y1 + y2 + z1 + z2) e T(u) + T(v) = (|x1|, y1 + z1) + (|x2|, y2 + z2) = (|x1| + |x2|, y1 + y2 + z1 + z2) . Então:
Por outro lado:
Para que a aditividade seja válida, precisaríamos que para todos os e , o que nem sempre é verdade.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (|cx|, cy + cz) = (|c||x|, c(y + z)) um escalar e cT(u) = c(|x|, y + z) = (c|x|, c(y + z)) . Então:
Por outro lado:
Para que a homogeneidade seja válida, precisaríamos que para todos os e . Isso só ocorre se for não negativo. Se for negativo, , o que viola a propriedade.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todos os vetores e escalares.

Exercícios relacionados