Sejam P0=(1,-1,2), P=(1,3,1) e Q=(1,-1,0). Calcule a area do paralelogramo P que tem como arestas adjacentes os segmentos P0 P e P0 Q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . O objetivo é calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial, que ajuda a encontrar a área desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores P0P = P - P0 = (1-1, 3-(-1), 1-2) = (0, 4, -1) e P0Q = Q - P0 = (1-1, -1-(-1), 0-2) = (0, 0, -2) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos correspondentes.

Passo 3

Agora que temos os dois vetores, vamos usar o produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo. O produto vetorial A times B = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) de dois vetores e é dado por:

Passo 4

Aplicando isso aos nossos vetores:
P0P times P0Q = ( 4 cdot (-2) - (-1) cdot 0, (-1) cdot 0 - 0 cdot (-2), 0 cdot 0 - 4 cdot 0 ) = (-8 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (-8, 0, 0)

Passo 5

A magnitude desse produto vetorial nos dá a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor | V | = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é calculada por:

Passo 6

Calculando a magnitude:
| P0P times P0Q | = raiz(-8)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz64 = 8

Resposta

A área do paralelogramo é igual a unidades de área.

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