Considere os pontos e . Escreva o vetor como combinação linear de A B e A C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado nos pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso está ligado ao conteúdo de combinação linear de vetores em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular os vetores , e a partir dos pontos dados.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores PQ = (xq - xp, yq - yp, zq - zp) e AB = B - A = (2-1, 4-2, 3-2) = (1, 2, 1) . Lembrando que um vetor entre dois pontos AC = C - A = (-1-1, 4-2, 2-2) = (-2, 2, 0) e é dado por:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor AE = E - A = (-4-1, 16-2, 5-2) = (-5, 14, 3) :
AE = x cdot AB + y cdot AC
Queremos expressar (-5, 14, 3) = x cdot (1, 2, 1) + y cdot (-2, 2, 0) como uma combinação linear de e :
Isso significa:
Passo 4
Vamos agora montar o sistema de equações para encontrar 1x - 2y = -5 2x + 2y = 14 1x + 0y = 3 e x = 3 . Igualando as componentes:
A terceira equação já nos dá diretamente :
Passo 5
Com 1(3) - 2y = -5 3 - 2y = -5 -2y = -8 y = 4 , substituímos na primeira equação para encontrar :
Resposta
Portanto, o vetor AE = 3 cdot AB + 4 cdot AC pode ser escrito como: