Sejam os pontos e , e os vetores e . Determine a altura relativa à base de lados e do paralelepípedo que tem por vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos três pontos no espaço: , e . A gente define os vetores , e . A missão aqui é encontrar a altura relativa à base formada pelos lados e do paralelepípedo que tem como vértices e .
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre vetores e paralelepípedos. Para resolver, vamos precisar calcular vetores, produtos vetoriais e entender como encontrar a altura de um paralelepípedo em relação a uma base definida por dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores , e a partir dos pontos dados. Como , isso significa que é o vetor que vai da origem até o ponto .
Então:

Passo 3

Agora, para encontrar a altura relativa à base formada por e , precisamos calcular o volume do paralelepípedo e depois relacionar esse volume com a área da base.
A fórmula do volume de um paralelepípedo definido por três vetores , e é dada pelo produto misto:
E a área da base formada por e é o módulo do produto vetorial desses dois vetores:
A altura pode ser encontrada relacionando o volume com a área da base:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto misto :
O volume é o módulo desse valor:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar a área da base:
A área da base é o módulo desse vetor:

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar a altura usando a relação :

Resposta

A altura relativa à base de lados e do paralelepípedo é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Considere os pontos e . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Sejam os pontos e , e os vetores e . Calcule a area do triângulo de vértices e .
Considere os pontos e . Mostre que e não são colineares.
Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor: