Sejam os pontos P=(1,2,0), Q=(3,1,1) e R=(1,-1,1), e os vetores u=O P, v=O Q e w=O R. Determine a altura relativa à base de lados O P e O Q do paralelepípedo P que tem por vértices O, P, Q e R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos três pontos no espaço: , e . A gente define os vetores , e . A missão aqui é encontrar a altura relativa à base formada pelos lados e do paralelepípedo que tem como vértices e .
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre vetores e paralelepípedos. Para resolver, vamos precisar calcular vetores, produtos vetoriais e entender como encontrar a altura de um paralelepípedo em relação a uma base definida por dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores u = P - O = (1, 2, 0) , v = Q - O = (3, 1, 1) e w = R - O = (1, -1, 1) a partir dos pontos dados. Como , isso significa que é o vetor que vai da origem até o ponto .
Então:

Passo 3

Agora, para encontrar a altura relativa à base formada por V = |u cdot (v times w)| e A = |u times v| , precisamos calcular o volume do paralelepípedo e depois relacionar esse volume com a área da base.
A fórmula do volume V = A cdot h Rightarrow h = VA de um paralelepípedo definido por três vetores , e é dada pelo produto misto:
E a área da base formada por e é o módulo do produto vetorial desses dois vetores:
A altura pode ser encontrada relacionando o volume com a área da base:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v = (3, 1, 1) :
w = (1, -1, 1)
v times w = i & j & k 3 & 1 & 1 1 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - j(3 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(3 cdot (-1) - 1 cdot 1) = (2, -2, -4)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto misto u = (1, 2, 0) :
v times w = (2, -2, -4)
u cdot (v times w) = 1 cdot 2 + 2 cdot (-2) + 0 cdot (-4) = 2 - 4 + 0 = -2
V = |-2| = 2
O volume é o módulo desse valor:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial u = (1, 2, 0) para encontrar a área da base:
v = (3, 1, 1)
u times v = i & j & k 1 & 2 & 0 3 & 1 & 1 = i(2 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 3) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 3) = (2, -1, -5)
A = raiz2^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = raiz4 + 1 + 25 = raiz30
A área da base é o módulo desse vetor:

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar a altura h = 2raiz30 = 2raiz3030 = raiz3015 approx 0,365 usando a relação :

Resposta

A altura relativa à base de lados e do paralelepípedo é aproximadamente unidades.

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