Sejam os pontos e , e os vetores e w=O R. Determine a altura relativa à base de lados O P e O Q do paralelepípedo P que tem por vértices O, P, Q e R.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos três pontos no espaço: , e . A gente define os vetores , e . A missão aqui é encontrar a altura relativa à base formada pelos lados e do paralelepípedo que tem como vértices e .
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre vetores e paralelepípedos. Para resolver, vamos precisar calcular vetores, produtos vetoriais e entender como encontrar a altura de um paralelepípedo em relação a uma base definida por dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores u = P - O = (1, 2, 0) , v = Q - O = (3, 1, 1) e w = R - O = (1, -1, 1) a partir dos pontos dados. Como , isso significa que é o vetor que vai da origem até o ponto .
Então:
Passo 3
Agora, para encontrar a altura relativa à base formada por V = |u cdot (v times w)| e A = |u times v| , precisamos calcular o volume do paralelepípedo e depois relacionar esse volume com a área da base.
A fórmula do volume V = A cdot h Rightarrow h = VA de um paralelepípedo definido por três vetores , e é dada pelo produto misto:
E a área da base formada por e é o módulo do produto vetorial desses dois vetores:
A altura pode ser encontrada relacionando o volume com a área da base:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial v = (3, 1, 1) :
w = (1, -1, 1)
v times w = i & j & k 3 & 1 & 1 1 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - j(3 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(3 cdot (-1) - 1 cdot 1) = (2, -2, -4)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto misto u = (1, 2, 0) :
v times w = (2, -2, -4)
u cdot (v times w) = 1 cdot 2 + 2 cdot (-2) + 0 cdot (-4) = 2 - 4 + 0 = -2
V = |-2| = 2
O volume é o módulo desse valor:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial u = (1, 2, 0) para encontrar a área da base:
v = (3, 1, 1)
u times v = i & j & k 1 & 2 & 0 3 & 1 & 1 = i(2 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 3) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 3) = (2, -1, -5)