Considere os pontos A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5). Mostre que A, B, C e D não são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá cinco pontos no espaço: , , , e . A tarefa é mostrar que os pontos e não são coplanares, ou seja, eles não estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar a Geometria Analítica no Espaço, especificamente o conceito de produto misto de vetores para verificar se os vetores formados por esses pontos são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos criar vetores a partir dos pontos dados. Vamos considerar o ponto como nosso ponto de referência. Assim, os vetores serão:
Esses vetores vão nos ajudar a verificar se os pontos estão no mesmo plano.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. O produto misto é uma forma de multiplicar três vetores que nos dá um número que indica se eles estão no mesmo plano ou não. A fórmula do produto misto é:
AB cdot (AC times AD)
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial AC times AD = i & j & k -2 & 2 & 0 6 & -1 & 1 = i(2 cdot 1 - 0 cdot (-1)) - j(-2 cdot 1 - 0 cdot 6) + k(-2 cdot (-1) - 2 cdot 6) = i(2) - j(-2) + k(2 - 12) = (2, 2, -10) :
AB cdot (2, 2, -10) = 1 cdot 2 + 2 cdot 2 + 1 cdot (-10) = 2 + 4 - 10 = -4
Agora, fazemos o produto escalar :

Passo 4

O valor do produto misto foi . Se esse valor fosse zero, significaria que os vetores são coplanares, ou seja, os pontos estariam no mesmo plano. Mas como o resultado não é zero, isso indica que os vetores são linearmente independentes, ou seja, não estão no mesmo plano. Portanto, os pontos e não são coplanares.

Resposta

Os pontos e não são coplanares porque o produto misto dos vetores formados por eles é diferente de zero ( ). Portanto, eles não estão todos no mesmo plano.

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