Considere os pontos e . Mostre que e não são coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá cinco pontos no espaço: , , , e . A tarefa é mostrar que os pontos e não são coplanares, ou seja, eles não estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar a Geometria Analítica no Espaço, especificamente o conceito de produto misto de vetores para verificar se os vetores formados por esses pontos são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos criar vetores a partir dos pontos dados. Vamos considerar o ponto como nosso ponto de referência. Assim, os vetores serão:
Esses vetores vão nos ajudar a verificar se os pontos estão no mesmo plano.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. O produto misto é uma forma de multiplicar três vetores que nos dá um número que indica se eles estão no mesmo plano ou não. A fórmula do produto misto é:
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial:
Agora, fazemos o produto escalar :
Passo 4
O valor do produto misto foi . Se esse valor fosse zero, significaria que os vetores são coplanares, ou seja, os pontos estariam no mesmo plano. Mas como o resultado não é zero, isso indica que os vetores são linearmente independentes, ou seja, não estão no mesmo plano. Portanto, os pontos e não são coplanares.
Resposta
Os pontos e não são coplanares porque o produto misto dos vetores formados por eles é diferente de zero (). Portanto, eles não estão todos no mesmo plano.