Considere os pontos e . Mostre que e não são colineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá cinco pontos no espaço tridimensional: , , , e . A gente precisa mostrar que os pontos , e não estão colineares, ou seja, não estão todos alinhados em uma única linha reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa três pontos estarem colineares. Se , e estiverem na mesma linha, o vetor de para deve ser múltiplo do vetor de para . Em outras palavras, os vetores e devem ser paralelos.
Passo 3
Vamos calcular os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se é múltiplo de . Isso significa que existe um número real tal que:
Vamos comparar as componentes:
Percebemos que não existe um único valor de que satisfaça todas as equações. Portanto, e não são múltiplos, o que significa que não são paralelos.
Passo 5
Como os vetores e não são paralelos, os pontos , e não estão colineares. Eles formam um triângulo no espaço tridimensional.