Considere os pontos A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5). Mostre que A, B e C não são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá cinco pontos no espaço tridimensional: , , , e . A gente precisa mostrar que os pontos , e não estão colineares, ou seja, não estão todos alinhados em uma única linha reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa três pontos estarem colineares. Se , e estiverem na mesma linha, o vetor de para deve ser múltiplo do vetor de para . Em outras palavras, os vetores e devem ser paralelos.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (2-1, , 4-2, , 3-2) = (1, 2, 1) e AC = C - A = (-1-1, , 4-2, , 2-2) = (-2, 2, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se AB = k cdot AC é múltiplo de 1 = k cdot (-2) implies k = -12 . Isso significa que existe um número real 2 = k cdot 2 implies k = 1 tal que:
1 = k cdot 0 implies Não é possível
Vamos comparar as componentes:
ãéí
Percebemos que não existe um único valor de que satisfaça todas as equações. Portanto, e não são múltiplos, o que significa que não são paralelos.

Passo 5

Como os vetores e não são paralelos, os pontos , e não estão colineares. Eles formam um triângulo no espaço tridimensional.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

Exercícios relacionados