Considere os pontos e . Mostre que e não são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá cinco pontos no espaço tridimensional: , , , e . A gente precisa mostrar que os pontos , e não estão colineares, ou seja, não estão todos alinhados em uma única linha reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa três pontos estarem colineares. Se , e estiverem na mesma linha, o vetor de para deve ser múltiplo do vetor de para . Em outras palavras, os vetores e devem ser paralelos.

Passo 3

Vamos calcular os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é múltiplo de . Isso significa que existe um número real tal que:
Vamos comparar as componentes:
ãéí
Percebemos que não existe um único valor de que satisfaça todas as equações. Portanto, e não são múltiplos, o que significa que não são paralelos.

Passo 5

Como os vetores e não são paralelos, os pontos , e não estão colineares. Eles formam um triângulo no espaço tridimensional.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

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Sejam os pontos e , e os vetores e . Determine a altura relativa à base de lados e do paralelepípedo que tem por vértices e .
Considere os pontos e . Escreva o vetor como combinação linear de e .
Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor:
Dados e , determine: