Sejam os pontos e , e os vetores e . Calcule a area do triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos , e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica no Espaço. Para calcular a área desse triângulo, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. A gente tem os vetores posição:
Agora, para achar os vetores que ligam os pontos a e a , fazemos:
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo, vamos usar o produto vetorial dos vetores e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. Como a área do triângulo é metade disso, a fórmula fica:
Á
Vamos calcular .
Passo 4
Calculando o produto vetorial:
Isso se resolve assim:
Passo 5
Agora, vamos achar a magnitude desse vetor:
Passo 6
Finalmente, a área do triângulo é metade dessa magnitude: