Sejam os pontos e , e os vetores e . Calcule a area do triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos , e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica no Espaço. Para calcular a área desse triângulo, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. A gente tem os vetores posição:
Agora, para achar os vetores que ligam os pontos a e a , fazemos:

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo, vamos usar o produto vetorial dos vetores e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. Como a área do triângulo é metade disso, a fórmula fica:
Á
Vamos calcular .

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
Isso se resolve assim:

Passo 5

Agora, vamos achar a magnitude desse vetor:

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa magnitude:
Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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Sejam os pontos e , e os vetores e . Determine a altura relativa à base de lados e do paralelepípedo que tem por vértices e .