Sejam os pontos P=(1,2,0), Q=(3,1,1) e R=(1,-1,1), e os vetores u=O P, v=O Q e w=O R. Calcule a area do triângulo T de vértices P, Q e R.

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo com os vértices nos pontos , e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica no Espaço. Para calcular a área desse triângulo, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. A gente tem os vetores posição:
u = O P = (1, 2, 0)
v = O Q = (3, 1, 1)
w = O R = (1, -1, 1)
Agora, para achar os vetores que ligam os pontos PQ = v - u = (3-1, 1-2, 1-0) = (2, -1, 1) a PR = w - u = (1-1, -1-2, 1-0) = (0, -3, 1) e a , fazemos:

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo, vamos usar o produto vetorial dos vetores Área = 12 | PQ times PR | e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. Como a área do triângulo é metade disso, a fórmula fica:
Á
Vamos calcular .

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
PQ times PR = i & j & k 2 & -1 & 1 0 & -3 & 1
Isso se resolve assim:
i cdot [(-1)(1) - (1)(-3)] - j cdot [(2)(1) - (1)(0)] + k cdot [(2)(-3) - (-1)(0)]
= i cdot (-1 + 3) - j cdot (2 - 0) + k cdot (-6 - 0)
= i cdot 2 - j cdot 2 + k cdot (-6)
= (2, -2, -6)

Passo 5

Agora, vamos achar a magnitude desse vetor:
| PQ times PR | = raiz2^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 4 + 36 = raiz44 = 2raiz11

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa magnitude:
Área = 12 times 2raiz11 = raiz11 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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