Sejam u e v unitários e perpendiculares, w=a1 u+b1 v e z=a2 u+b2 v. Determine: w cdot w.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores unitários e perpendiculares, chamados u e v. Além disso, são definidos os vetores w = a1 u + b1 v e z = a2 u + b2 v. Nosso objetivo é determinar o produto interno de w consigo mesmo, ou seja, calcular w cdot w. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e as características dos vetores unitários e perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de um vetor consigo mesmo, w cdot w, é igual ao quadrado da norma desse vetor. A norma de w é dada por:
|w| = raiza1^2 + b1^2
Então,
w cdot w = |w|^2 = a1^2 + b1^2

Passo 3

Para chegar a essa conclusão, vamos expandir o produto interno w cdot w substituindo w pela sua expressão em termos de u e v:
w cdot w = (a1 u + b1 v) cdot (a1 u + b1 v)

Passo 4

Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
w cdot w = a1^2 (u cdot u) + 2 a1 b1 (u cdot v) + b1^2 (v cdot v)

Passo 5

Sabemos que u e v são vetores unitários e perpendiculares, o que significa que:
u cdot u = 1, v cdot v = 1, u cdot v = 0

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão anterior:
w cdot w = a1^2 cdot 1 + 2 a1 b1 cdot 0 + b1^2 cdot 1 = a1^2 + b1^2

Resposta

w cdot w = a1^2 + b1^2

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