Sejam e unitários e perpendiculares, e . Determine: .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores unitários e perpendiculares, chamados e . Além disso, são definidos os vetores e . Nosso objetivo é determinar o produto interno de consigo mesmo, ou seja, calcular . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e as características dos vetores unitários e perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de um vetor consigo mesmo, , é igual ao quadrado da norma desse vetor. A norma de é dada por:
Então,

Passo 3

Para chegar a essa conclusão, vamos expandir o produto interno substituindo pela sua expressão em termos de e :

Passo 4

Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:

Passo 5

Sabemos que e são vetores unitários e perpendiculares, o que significa que:

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão anterior:

Resposta

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Questão 3. Determine uma base do espaço-nulo, espaço-linha e es-paço-coluna da matriz abaixo:
Questão 2. Encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear dado abaixo. Represente sua resposta como soma da solução geral do sistema homogêneo com uma solução particular do sistema não-homogêneo.
Em sua resposta, considere:
Considere os pontos e . Mostre que e não são coplanares.
Sejam os pontos e , e os vetores e . Calcule a area do triângulo de vértices e .