Sejam e unitários e perpendiculares, e . Determine: .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores unitários e perpendiculares, chamados e . Além disso, são definidos os vetores e . Nosso objetivo é determinar o produto interno de consigo mesmo, ou seja, calcular . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e as características dos vetores unitários e perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de um vetor consigo mesmo, , é igual ao quadrado da norma desse vetor. A norma de é dada por:
Então,
Passo 3
Para chegar a essa conclusão, vamos expandir o produto interno substituindo pela sua expressão em termos de e :
Passo 4
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Passo 5
Sabemos que e são vetores unitários e perpendiculares, o que significa que: