Questão 3. Determine uma base do espaço-nulo, espaço-linha e es-paço-coluna da matriz abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar bases para o espaço-nulo, espaço-linha e espaço-coluna da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com conceitos como espaços vetoriais e operações com matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que cada espaço representa e como encontrá-los usando operações básicas com matrizes.
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples, a chamada forma escalonada por linhas reduzida (RREF - Reduced Row Echelon Form), usando operações elementares de linha.
Passo 3
Vamos começar fazendo operações nas linhas para simplificar a matriz. Primeiro, trocamos a primeira linha (L1) com a terceira linha (L3) para ter um 1 no início:
1 & -2 & 1 2 & -5 & 2 -1 & 3 & 1
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Para a segunda linha: 2 - 2(1) = 0, -5 - 2(-2) = -1, 2 - 2(1) = 0
-1 + 1 = 0, 3 + (-2) = 1, 1 + 1 = 2
Para a terceira linha: 1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 1 & 2
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por -1 para ter um 1:
L2 = -1 times L2 Rightarrow (0, 1, 0)
A matriz:
1 & -2 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2
Passo 6
Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 2 - 0 = 2
1 & -2 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2
A matriz fica:
Passo 7
Finalmente, vamos simplificar a terceira linha dividindo-a por 2:
L3 = 12 times L3 Rightarrow (0, 0, 1)
A matriz em RREF:
1 & -2 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 8
Agora que temos a matriz em forma escalonada por linhas reduzida, podemos identificar os pivôs (os 1s principais) nas colunas 1, 2 e 3. Isso nos mostra que todas as colunas são linhas de pivô, ou seja, o espaço-linha tem dimensão 3 e é gerado pelas próprias linhas da matriz original.
Passo 9
Para encontrar o espaço-nulo, resolvemos a equação x1 - 2x2 + x3 = 0 x2 = 0 x3 = 0 . Com a matriz em RREF, temos o sistema:
Da segunda e terceira equações, e . Substituindo na primeira equação:
Então, a única solução é , ou seja, o espaço-nulo é trivial e sua base é o conjunto vazio.
Passo 10
Para o espaço-coluna, observamos as colunas da matriz original que correspondem às colunas de pivô na RREF, que são todas as três colunas. Portanto, as colunas originais são linearmente independentes e formam a base do espaço-coluna.