Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(b) Determine a projeção de \overrightarrow{B C} sobre \overrightarrow{A B}.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A=(1, 0, -1), B=(-2, 1, 3), C=(1, 1, 1) e D=(-1, 0, 0). A parte (b) quer que a gente encontre a projeção do vetor BC sobre o vetor AB. Isso envolve conceitos de vetores e projeção vetorial, que são partes da matéria de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e BC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • AB = B - A = (-2 - 1, 1 - 0, 3 - (-1)) = (-3, 1, 4)
  • BC = C - B = (1 - (-2), 1 - 1, 1 - 3) = (3, 0, -2)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a projeção de BC sobre AB. A fórmula para a projeção de um vetor u sobre um vetor v é:
Projv,u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Vamos aplicar isso aos vetores que encontramos:
  1. Calculamos o produto escalar BCAB:
BC cdot AB = (3)(-3) + (0)(1) + (-2)(4) = -9 + 0 - 8 = -17
  1. Calculamos o módulo de AB ao quadrado:
|AB|^2 = (-3)^2 + 1^2 + 4^2 = 9 + 1 + 16 = 26
  1. Aplicamos na fórmula da projeção:
ProjAB,BC = ( -1726 ) AB = ( -1726 ) (-3,,1,,4)

Passo 4

Multiplicando cada componente de AB pelo escalar ProjAB,BC = ( -1726 times -3, -1726 times 1, -1726 times 4 ) = ( 5126, -1726, -6826 ) :
ProjAB,BC = ( 5126, -1726, -3413 )
Podemos simplificar as frações:

Resposta

A projeção do vetor BC sobre o vetor AB é .

Exercícios relacionados