Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(3 x-5 y, x-2 y).
Determine T^-1(x, y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos trabalhar com matrizes e encontrar a matriz inversa da transformação .

Passo 2

Vamos representar a transformação linear A = a & b c & d através de uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear A = 3 & -5 1 & -2 , a matriz associada é:
No nosso caso, , então a matriz é:

Passo 3

Para encontrar a transformação inversa a & b c & d , precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2 é:
Primeiro, vamos calcular o determinante .

Passo 4

O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é dado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Aplicando os valores da matriz det(A) = 3 cdot (-2) - (-5) cdot 1 = -6 + 5 = -1 :

Passo 5

Agora que temos o determinante, podemos calcular a matriz inversa A^-1 = 1-1 -2 & 5 -1 & 3 = 2 & -5 1 & -3 :

Passo 6

Com a matriz inversa T^-1(x, y) = A^-1 x y = 2 & -5 1 & -3 x y , podemos definir a transformação inversa aplicando a matriz aos vetores :

Passo 7

Realizando a multiplicação matricial:
T^-1(x, y) = (2x - 5y, x - 3y)

Resposta

A transformação inversa é .

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