Considere a transformação linear , definida por .
Determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos trabalhar com matrizes e encontrar a matriz inversa da transformação .

Passo 2

Vamos representar a transformação linear através de uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear , a matriz associada é:
No nosso caso, , então a matriz é:

Passo 3

Para encontrar a transformação inversa , precisamos encontrar a matriz inversa . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2 é:
Primeiro, vamos calcular o determinante .

Passo 4

O determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
Aplicando os valores da matriz :

Passo 5

Agora que temos o determinante, podemos calcular a matriz inversa :

Passo 6

Com a matriz inversa , podemos definir a transformação inversa aplicando a matriz aos vetores :

Passo 7

Realizando a multiplicação matricial:

Resposta

A transformação inversa é .

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Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.
Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(b) O volume do paralelepípedo que tem como vértices A, B e C.
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .
Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(b) Determine a projeção de \overrightarrow{B C} sobre \overrightarrow{A B}.