Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações: que vai de para (as matrizes 2x2) e que vai de para . Nosso foco aqui é descobrir como é . Para isso, vamos precisar entender como age sobre a base e usar a linearidade das transformações lineares para generalizar para qualquer .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada por como ela age sobre uma base. Aqui, a base de é . Já sabemos o que faz com esses vetores:
Passo 3
Agora, queremos expressar qualquer vetor em como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Expandindo a equação:
Isso nos dá o sistema:
Passo 5
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Então, e .
Passo 6
Agora que temos e , podemos usar a linearidade da transformação para escrever: