Considere as transformações lineares T: R^2 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^3 dadas por
T(1,1)=(cc 1 & 2 1 & 0 ), T(0,-1)=(cc -1 & -2 0 & -1 ) e [S]gamma^beta=(cccc 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 )
Sejam alpha=(1,1),(0,-1) (base do R^2), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3).
Determine T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações: que vai de para (as matrizes 2x2) e que vai de para . Nosso foco aqui é descobrir como é . Para isso, vamos precisar entender como age sobre a base e usar a linearidade das transformações lineares para generalizar para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada por como ela age sobre uma base. Aqui, a base T(1,1) = 1 & 2 1 & 0 , T(0, -1) = -1 & -2 0 & -1 de é . Já sabemos o que faz com esses vetores:

Passo 3

Agora, queremos expressar qualquer vetor (x, y) = a(1,1) + b(0,-1) em como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar (x, y) = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 1 + b cdot (-1)) Rightarrow (x, y) = (a, a - b) e a = x a - b = y . Expandindo a equação:
Isso nos dá o sistema:

Passo 5

Da primeira equação, temos x - b = y Rightarrow b = x - y . Substituindo na segunda:
Então, e .

Passo 6

Agora que temos T(x, y) = aT(1,1) + bT(0, -1) = x cdot T(1,1) + (x - y) cdot T(0, -1) e , podemos usar a linearidade da transformação para escrever:

Passo 7

Vamos substituir os valores de T(x, y) = x 1 & 2 1 & 0 + (x - y) -1 & -2 0 & -1 e :

Passo 8

Multiplicando cada matriz pelos escalares:
x 1 & 2 1 & 0 = x & 2x x & 0 , (x - y) -1 & -2 0 & -1 = -x + y & -2x + 2y 0 & -x + y

Passo 9

Agora, somamos as duas matrizes resultantes:
T(x, y) = x & 2x x & 0 + -x + y & -2x + 2y 0 & -x + y = y & 2y x & -x + y

Resposta

T(x, y) = y & 2y x & -x + y

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