Considere as transformações lineares e dadas por Sejam (base do a base canônica do e (base do . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem duas transformações: que vai de para (as matrizes 2x2) e que vai de para . Nosso foco aqui é descobrir como é . Para isso, vamos precisar entender como age sobre a base e usar a linearidade das transformações lineares para generalizar para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é determinada por como ela age sobre uma base. Aqui, a base de é . Já sabemos o que faz com esses vetores:

Passo 3

Agora, queremos expressar qualquer vetor em como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Expandindo a equação: Isso nos dá o sistema:

Passo 5

Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda: Então, e .

Passo 6

Agora que temos e , podemos usar a linearidade da transformação para escrever:

Passo 7

Vamos substituir os valores de e :

Passo 8

Multiplicando cada matriz pelos escalares:

Passo 9

Agora, somamos as duas matrizes resultantes:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear , definida por . Determine .
Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1). (a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.
Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0). (b) Determine a projeção de \overrightarrow{B C} sobre \overrightarrow{A B}.
Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). Calcule: (b) (\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}