Considere a transformação linear
, definida por
.
Mostre que
é um isomorfismo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é mostrar que
é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo em álgebra linear e verificar algumas propriedades da transformação
.
Passo 2
Primeiro, o que é um isomorfismo? Em álgebra linear, uma transformação linear é chamada de isomorfismo se ela é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos). Basicamente, um isomorfismo é uma espécie de “relabeling” sem perder ou adicionar nada: cada vetor no espaço de partida tem uma imagem única e completa no espaço de chegada.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos representar a transformação
por uma matriz. Como
mapeia
para
, a matriz será 2x2. Observando a definição de
, podemos montar a matriz de transformação:
Aqui, cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de
e
nas expressões de
.
Passo 4
Agora, para verificar se
é um isomorfismo, vamos calcular o determinante da matriz
. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, o que garante que a transformação é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, um isomorfismo.
Calculando o determinante de
:
Como
, concluímos que a matriz
é invertível.
Passo 5
Já que a matriz
correspondente à transformação
é invertível (determinante diferente de zero), isso significa que
é uma transformação linear bijetora. Portanto,
é um isomorfismo.
Resposta
A transformação
é um isomorfismo porque sua matriz associada tem determinante igual a 1, que é diferente de zero, garantindo que
seja invertível e, portanto, bijetora.
Exercícios relacionados
Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(b) Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.
(b) Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.
Sejam A=(1,2,1), B=(2,3,4) e C=(3,0,2).
Calcule:
(a) \vec{AB}+\vec{AC}.
Calcule:
(a) \vec{AB}+\vec{AC}.
Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(a) Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.
(a) Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.