Considere a transformação linear , definida por .
Mostre que é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo em álgebra linear e verificar algumas propriedades da transformação .

Passo 2

Primeiro, o que é um isomorfismo? Em álgebra linear, uma transformação linear é chamada de isomorfismo se ela é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos). Basicamente, um isomorfismo é uma espécie de “relabeling” sem perder ou adicionar nada: cada vetor no espaço de partida tem uma imagem única e completa no espaço de chegada.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos representar a transformação por uma matriz. Como mapeia para , a matriz será 2x2. Observando a definição de , podemos montar a matriz de transformação:
Aqui, cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de e nas expressões de .

Passo 4

Agora, para verificar se é um isomorfismo, vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, o que garante que a transformação é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, um isomorfismo.
Calculando o determinante de :
Como , concluímos que a matriz é invertível.

Passo 5

Já que a matriz correspondente à transformação é invertível (determinante diferente de zero), isso significa que é uma transformação linear bijetora. Portanto, é um isomorfismo.

Resposta

A transformação é um isomorfismo porque sua matriz associada tem determinante igual a 1, que é diferente de zero, garantindo que seja invertível e, portanto, bijetora.

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