Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0).
(a) Determine a área do paralelogramo de vértices A, B e C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Geometria Analítica que pede para a gente determinar a área de um paralelogramo formado pelos pontos A, B e C no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais vetores formam os lados do paralelogramo. Como os vértices são A, B e C, podemos usar os vetores AB e AC. Para encontrar esses vetores, vamos subtrair as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora que temos os vetores AB e AC, vamos usar o produto vetorial para encontrar um vetor que é perpendicular ao plano do paralelogramo. A magnitude desse vetor resultante vai nos dar a área do paralelogramo. A fórmula do produto vetorial é:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial:
AB times AC = i cdot (-2 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j cdot (1 cdot 1 - 2 cdot (-2)) + k cdot (1 cdot (-1) - (-2) cdot (-2))
= i cdot (-2 + 2) - j cdot (1 + 4) + k cdot (-1 - 4)
= i cdot 0 - j cdot 5 + k cdot (-5)
= (0, -5, -5)
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor para determinar a área do paralelogramo:
Área = | AB times AC | = raiz0^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz0 + 25 + 25 = raiz50 = 5raiz2 Á
Resposta
A área do paralelogramo formado pelos pontos A, B e C é unidades de área.