Resolva o PVI de segunda ordem
y^prime prime prime-5 y^prime prime+9 y-5 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-1 y^prime prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem com condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender sobre equações lineares com coeficientes constantes e como encontrar suas soluções gerais usando a equação característica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Observe que temos:
y''' - 5 y'' + 9 y - 5 y = 0
Podemos simplificar isso combinando os termos com y''' - 5 y'' + 4 y = 0 :

Passo 3

Agora, para resolver essa EDO, usamos a equação característica. Substituímos r^3 e^rt - 5 r^2 e^rt + 4 e^rt = 0 por r^3 - 5 r^2 + 4 = 0 , onde é uma constante que precisamos encontrar. Aplicando isso na equação, temos:
Como nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação característica:
r^3 - 5 r^2 + 4 = 0
Para encontrar as raízes dessa equação cúbica, vamos tentar encontrar fatores comuns. Testando 1^3 - 5 times 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 :
(r - 1)(r^2 - 4 r - 4) = 0
Então, é uma raiz. Podemos usar a fatoração por :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
r^2 - 4 r - 4 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 times 1 times (-4)2 times 1 = 4 pm raiz16 + 162 = 4 pm raiz322 = 4 pm 4raiz22 = 2 pm 2raiz2
Então, as raízes são , e .

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + C3 e^r3 t
Onde y(t) = C1 e^t + C2 e^(2 + 2raiz2) t + C3 e^(2 - 2raiz2) t , e são constantes que determinamos com as condições iniciais, e , , . Substituindo:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de 1 = C1 e^0 + C2 e^0 + C3 e^0 1 = C1 + C2 + C3 , y'(t) = C1 e^t + C2 (2 + 2raiz2) e^(2 + 2raiz2) t + C3 (2 - 2raiz2) e^(2 - 2raiz2) t e -1 = C1 (1) + C2 (2 + 2raiz2) + C3 (2 - 2raiz2) .
  1. Primeira condição: y''(t) = C1 e^t + C2 (2 + 2raiz2)^2 e^(2 + 2raiz2) t + C3 (2 - 2raiz2)^2 e^(2 - 2raiz2) t
2 = C1 + C2 (2 + 2raiz2)^2 + C3 (2 - 2raiz2)^2
  1. Segunda condição:
Calculamos a derivada de :
Aplicando :
  1. Terceira condição:
Calculamos a segunda derivada de :
Aplicando :

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Após resolver esse sistema (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos os valores de , e .

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^(2 + 2raiz2) t + C3 e^(2 - 2raiz2) t
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais fornecidas.

Exercícios relacionados

Seja A e B em \mathbb{R}^{3}. Determine:
(b) O vetor A-B.
Resolva o PVI de primeira ordem
y^prime-2 yx=-x^2 sin x
y(pi / 3)^wed>= x=0
Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0).
(a) Determine a área do paralelogramo de vértices A, B e C.
Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3)
Determine:
(b) Uma base e a dimensão de Ker(T).