Resolva o PVI de segunda ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem com condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender sobre equações lineares com coeficientes constantes e como encontrar suas soluções gerais usando a equação característica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Observe que temos:
Podemos simplificar isso combinando os termos com
:
Passo 3
Agora, para resolver essa EDO, usamos a equação característica. Substituímos
por
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Aplicando isso na equação, temos:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes dessa equação cúbica, vamos tentar encontrar fatores comuns. Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos usar a fatoração por
:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
,
e
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
,
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais, e
,
,
. Substituindo:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
,
e
.
- Primeira condição:
- Segunda condição:
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
- Terceira condição:
Calculamos a segunda derivada de
:
Aplicando
:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Após resolver esse sistema (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos os valores de
,
e
.
Resposta
A solução do problema é:
Onde
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais fornecidas.
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(b) O vetor A-B.
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