O vetor v=(5,4) pode ser expresso como combinação linear de v1= (1,3), v2=(-1,-3), v3=(2,6) ? Qual a representação geométrica desses quatro vetores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o vetor e queremos saber se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com combinações lineares para ver se um vetor pode ser formado a partir de outros vetores dados. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação e ver se tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v como uma combinação linear dos vetores a cdot (1,3) + b cdot (-1,-3) + c cdot (2,6) = (5,4) , e . Isso significa encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os valores dos vetores:

Passo 3

Agora, vamos separar as componentes x e y para formar um sistema de equações:
Para a componente x:
a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 2 = 5
Simplificando:
a - b + 2c = 5 (Equação 1) çã
Para a componente y:
a cdot 3 + b cdot (-3) + c cdot 6 = 4
Simplificando:
3a - 3b + 6c = 4 (Equação 2) çã

Passo 4

Observamos que a Equação 2 pode ser simplificada dividindo todos os termos por 3:
a - b + 2c = 43
Comparando com a Equação 1:
a - b + 2c = 5
Vemos que , o que nos leva a uma contradição.

Passo 5

Essa contradição indica que não existe nenhum conjunto de valores para , e que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 6

Agora, sobre a representação geométrica desses vetores: no plano, cada vetor pode ser representado como uma seta partindo da origem até o ponto correspondente às suas coordenadas. Os vetores , e são coplanares e, na verdade, é uma combinação linear de e . Isso significa que eles estão todos na mesma linha ou plano. Já o vetor fica fora desse conjunto, o que confirma que não pode ser formado por eles.

Resposta

Não, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e . Geometricamente, esses quatro vetores não estão no mesmo plano de forma que possa ser formado a partir de , e .

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