O vetor
pode ser expresso como combinação linear de
? Qual a representação geométrica desses quatro vetores?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o vetor
e queremos saber se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com combinações lineares para ver se um vetor pode ser formado a partir de outros vetores dados. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação e ver se tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Isso significa encontrar escalares
,
e
tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Passo 3
Agora, vamos separar as componentes x e y para formar um sistema de equações:
Para a componente x:
Simplificando:
Para a componente y:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que a Equação 2 pode ser simplificada dividindo todos os termos por 3:
Comparando com a Equação 1:
Vemos que
, o que nos leva a uma contradição.
Passo 5
Essa contradição indica que não existe nenhum conjunto de valores para
,
e
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Passo 6
Agora, sobre a representação geométrica desses vetores: no plano, cada vetor pode ser representado como uma seta partindo da origem até o ponto correspondente às suas coordenadas. Os vetores
,
e
são coplanares e, na verdade,
é uma combinação linear de
e
. Isso significa que eles estão todos na mesma linha ou plano. Já o vetor
fica fora desse conjunto, o que confirma que não pode ser formado por eles.
Resposta
Não, o vetor
não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Geometricamente, esses quatro vetores não estão no mesmo plano de forma que
possa ser formado a partir de
,
e
.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear tal que
Determine:
(b) Uma base e a dimensão de .
(b) Uma base e a dimensão de
Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0).
(a) Determine a área do paralelogramo de vértices A, B e C.
(a) Determine a área do paralelogramo de vértices A, B e C.
Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(b) Caso não sejam colineares, estes pontos formam um triângulo. Neste caso, determine a altura relativa ao lado \overline{A B}.
(b) Caso não sejam colineares, estes pontos formam um triângulo. Neste caso, determine a altura relativa ao lado \overline{A B}.
Escreva, se possível, o vetor
(espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2) como combinação linerar de