Seja
a transformação linear tal que
Determine:
(b) Uma base e a dimensão de
.
(b) Uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do Núcleo da transformação linear
. A transformação está definida por
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre núcleos de transformações lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo (
) de uma transformação linear. O Núcleo é o conjunto de todos os vetores
que, quando aplicamos a transformação
, dão o vetor zero em
. Ou seja,
Passo 3
Vamos expressar a transformação
de forma geral. Como
é linear, podemos escrever qualquer vetor
da seguinte maneira:
Mas a gente não sabe
e
diretamente. Porém, temos
e
. Vamos usar essas informações para descobrir
.
Passo 4
Vamos chamar
e
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos montar um sistema de equações para encontrar
e
. A partir das duas equações acima:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Somando as duas equações para eliminar
:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Passo 8
Agora que sabemos
e
, podemos escrever a transformação
de forma geral:
Passo 9
Para encontrar o Núcleo de
, precisamos resolver a equação
:
Passo 10
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Passo 11
Com
e
, encontramos que a única solução é o vetor zero:
Resposta
Uma base do Núcleo de
é o conjunto vazio, e a dimensão de
é
.