Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3)
Determine:
(b) Uma base e a dimensão de Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do Núcleo da transformação linear . A transformação está definida por e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre núcleos de transformações lineares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Núcleo ( Ker(T) = v in R^2 | T(v) = 0 ) de uma transformação linear. O Núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicamos a transformação , dão o vetor zero em . Ou seja,

Passo 3

Vamos expressar a transformação T(x, y) = x cdot T(1, 0) + y cdot T(0, 1) de forma geral. Como é linear, podemos escrever qualquer vetor da seguinte maneira:
Mas a gente não sabe e diretamente. Porém, temos e . Vamos usar essas informações para descobrir .

Passo 4

Vamos chamar T(1, -1) = a - b = (3, 2, -2) e T(-1, 2) = -a + 2b = (1, -1, 3) . Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos montar um sistema de equações para encontrar e . A partir das duas equações acima:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Somando as duas equações para eliminar (a - b) + (-a + 2b) = (3, 2, -2) + (1, -1, 3) :
a - b - a + 2b = (4, 1, 1)
b = (4, 1, 1)

Passo 7

Agora que temos a - b = (3, 2, -2) , substituímos na primeira equação para encontrar a = (3, 2, -2) + b = (3, 2, -2) + (4, 1, 1) = (7, 3, -1) :

Passo 8

Agora que sabemos T(x, y) = x cdot (7, 3, -1) + y cdot (4, 1, 1) = (7x + 4y, 3x + y, -x + y) e , podemos escrever a transformação de forma geral:

Passo 9

Para encontrar o Núcleo de 7x + 4y = 0 , precisamos resolver a equação 3x + y = 0 :
-x + y = 0

Passo 10

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
-x + y = 0 Rightarrow y = x
Substituindo 3x + x = 0 Rightarrow 4x = 0 Rightarrow x = 0 na segunda equação:
Então, .

Passo 11

Com Ker(T) = (0, 0) e , encontramos que a única solução é o vetor zero:

Resposta

Uma base do Núcleo de é o conjunto vazio, e a dimensão de é .

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