Considere os pontos A=(1,1), B=(4,2) e C=(2,3).
(d) Determine a equação do círculo que passa pelos pontos A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos três pontos no plano: , e . A tarefa é encontrar a equação do círculo que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral do círculo e como determinar seu centro e raio a partir de pontos conhecidos.

Passo 2

Primeiro, lembrando da equação geral de um círculo:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 3

Como os pontos (1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 (1) , (4 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 (2) e (2 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2 (3) estão no círculo, eles satisfazem a equação acima. Vamos substituir cada ponto na equação para obter um sistema de equações.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, temos três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar (4 - h)^2 + (2 - k)^2 - [(1 - h)^2 + (1 - k)^2] = 0 , (16 - 8h + h^2) + (4 - 4k + k^2) - (1 - 2h + h^2 + 1 - 2k + k^2) = 0 e 16 - 8h + 4 - 4k - 1 + 2h -1 + 2k = 0 .
Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2) para eliminar (16 + 4 -1 -1) + (-8h + 2h) + (-4k + 2k) = 0 :
18 -6h -2k = 0 (4)
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 5

Fazemos o mesmo com a equação (1) e a equação (3):
(2 - h)^2 + (3 - k)^2 - [(1 - h)^2 + (1 - k)^2] = 0
Expandindo:
(4 - 4h + h^2) + (9 - 6k + k^2) - (1 - 2h + h^2 + 1 - 2k + k^2) = 0
Simplificando:
4 -4h +9 -6k -1 +2h -1 +2k = 0
(4 +9 -1 -1) + (-4h +2h) + (-6k +2k) = 0
11 -2h -4k = 0 (5)

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações:
-6h -2k = -18 (4) -2h -4k = -11 (5)
Podemos simplificar a equação (4) dividindo por -2:
3h + k = 9 (6)
E mantemos a equação (5) como está:
-2h -4k = -11 (5)

Passo 7

Vamos resolver o sistema formado pelas equações (6) e (5). Da equação (6):
k = 9 -3h
Substituímos -2h -4(9 -3h) = -11 na equação (5):
-2h -36 +12h = -11
10h -36 = -11
10h = 25
h = 2.5

Passo 8

Agora que encontramos k = 9 -3(2.5) = 9 -7.5 = 1.5 , substituímos na equação (6) para encontrar :

Passo 9

Com (1 - 2.5)^2 + (1 - 1.5)^2 = r^2 e (-1.5)^2 + (-0.5)^2 = r^2 , podemos encontrar o raio 2.25 + 0.25 = r^2 usando uma das equações iniciais. Vamos usar a equação (1):
2.5 = r^2
r = raiz2.5 approx 1.58

Resposta

A equação do círculo que passa pelos pontos (x - 2.5)^2 + (y - 1.5)^2 = 2.5 , e é:

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