Considere os pontos
e
.
(d) Determine a equação do círculo que passa pelos pontos
e
.
(d) Determine a equação do círculo que passa pelos pontos
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos três pontos no plano:
,
e
. A tarefa é encontrar a equação do círculo que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral do círculo e como determinar seu centro e raio a partir de pontos conhecidos.
Passo 2
Primeiro, lembrando da equação geral de um círculo:
Onde
é o centro do círculo e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 3
Como os pontos
,
e
estão no círculo, eles satisfazem a equação acima. Vamos substituir cada ponto na equação para obter um sistema de equações.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, temos três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2) para eliminar
:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 5
Fazemos o mesmo com a equação (1) e a equação (3):
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações:
Podemos simplificar a equação (4) dividindo por -2:
E mantemos a equação (5) como está:
Passo 7
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (6) e (5). Da equação (6):
Substituímos
na equação (5):
Passo 8
Agora que encontramos
, substituímos na equação (6) para encontrar
:
Passo 9
Com
e
, podemos encontrar o raio
usando uma das equações iniciais. Vamos usar a equação (1):
Resposta
A equação do círculo que passa pelos pontos
,
e
é: