Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem. com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa verificar se a estrutura , onde , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um a um se eles são satisfeitos nessa estrutura específica.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular as operações que estão sendo definidas:
A adição de vetores é convencional:
Já a multiplicação por escalar está meio estranha:
Vamos lembrar que, para ser um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.
Passo 3
Vamos começar verificando o Axioma da Adição Comutativa, que diz que para quaisquer vetores em .
Neste caso:
e
Como a adição de números reais é comutativa, temos que . Então, esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar o Axioma da Adição Associativa, que afirma que .
Fazendo as contas:
Como dá o mesmo resultado, esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Vamos verificar o Axioma do Elemento Neutro da Adição, que exige que exista um vetor tal que para todo em .
Na nossa operação de adição:
Então, o vetor zero funciona como o elemento neutro. Esse axioma está ok.
Passo 6
Vamos ao Axioma da Multiplicação por Escalar. Aqui está onde as coisas começam a ficar estranhas. O axioma diz que deve satisfazer certas propriedades, como a distributividade em relação à adição de vetores e escalares.
Na nossa definição:
Isso significa que, para qualquer escalar e qualquer vetor , a multiplicação por escalar sempre resulta no vetor zero.
Isso já vai causar problemas. Por exemplo, se pegarmos e , deveríamos ter:
Mas, de acordo com a definição dada:
Portanto, o Axioma da Identidade da Multiplicação por Escalar não é satisfeito.
Passo 7
Além disso, vamos verificar o Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
Com nossa definição:
e
Neste caso, esse axioma específico parece ser satisfeito, mas o problema principal já foi encontrado no axioma anterior.
Além disso, outros axiomas, como a Distributividade em Relação à Adição de Escalares e a Associatividade da Multiplicação por Escalares, também não seriam satisfeitos devido à definição restritiva da multiplicação por escalar.
Resposta
Não, a estrutura definida não é um espaço vetorial real. O Axioma da Identidade da Multiplicação por Escalar não é satisfeito, já que para qualquer escalar e vetor , temos em vez de . Além disso, outros axiomas relacionados à multiplicação por escalares também não são cumpridos.