Quais das seguintes estruturas (V, R, oplus, odot) são espaços vetoriais reais ( V representa um conjunto, oplus e odot representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
1.4 V=R^3 com as operações:
(x1, x2, x3) oplus(y1, y2, y3) & =(x1+y1, x2+y2, x3+y3) alpha odot(x1, x2, x3) & =(0,0,0), alpha in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa verificar se a estrutura , onde , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um a um se eles são satisfeitos nessa estrutura específica.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular as operações que estão sendo definidas:
A adição de vetores é convencional:
(x1, x2, x3) oplus (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3))
Já a multiplicação por escalar está meio estranha:
alpha odot (x1, x2, x3) = (0,0,0), alpha in R
Vamos lembrar que, para ser um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.

Passo 3

Vamos começar verificando o Axioma da Adição Comutativa, que diz que (x1, x2, x3) oplus (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) para quaisquer vetores (y1, y2, y3) oplus (x1, x2, x3) = (y1+x1, y2+x2, y3+x3) em .
Neste caso:
e
Como a adição de números reais é comutativa, temos que . Então, esse axioma está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar o Axioma da Adição Associativa, que afirma que ((x1, x2, x3) oplus (y1, y2, y3)) oplus (z1, z2, z3) = (x1+y1+z1, x2+y2+z2, x3+y3+z3)) .
Fazendo as contas:
(x1, x2, x3) oplus ((y1, y2, y3) oplus (z1, z2, z3)) = (x1+y1+z1, x2+y2+z2, x3+y3+z3))
Como dá o mesmo resultado, esse axioma também está satisfeito.

Passo 5

Vamos verificar o Axioma do Elemento Neutro da Adição, que exige que exista um vetor (x1, x2, x3) oplus (0,0,0) = (x1+0, x2+0, x3+0) = (x1, x2, x3) tal que para todo em .
Na nossa operação de adição:
Então, o vetor zero funciona como o elemento neutro. Esse axioma está ok.

Passo 6

Vamos ao Axioma da Multiplicação por Escalar. Aqui está onde as coisas começam a ficar estranhas. O axioma diz que alpha odot (x1, x2, x3) = (0,0,0) deve satisfazer certas propriedades, como a distributividade em relação à adição de vetores e escalares.
Na nossa definição:
1 odot u = u
Isso significa que, para qualquer escalar 1 odot (1,2,3) = (0,0,0) neq (1,2,3) e qualquer vetor , a multiplicação por escalar sempre resulta no vetor zero.
Isso já vai causar problemas. Por exemplo, se pegarmos e , deveríamos ter:
Mas, de acordo com a definição dada:
Portanto, o Axioma da Identidade da Multiplicação por Escalar não é satisfeito.

Passo 7

Além disso, vamos verificar o Axioma da Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
alpha odot (u oplus v) = alpha odot u oplus alpha odot v
Com nossa definição:
alpha odot (u oplus v) = (0,0,0)
e
alpha odot u oplus alpha odot v = (0,0,0) oplus (0,0,0) = (0,0,0)
Neste caso, esse axioma específico parece ser satisfeito, mas o problema principal já foi encontrado no axioma anterior.
Além disso, outros axiomas, como a Distributividade em Relação à Adição de Escalares e a Associatividade da Multiplicação por Escalares, também não seriam satisfeitos devido à definição restritiva da multiplicação por escalar.

Resposta

Não, a estrutura definida não é um espaço vetorial real. O Axioma da Identidade da Multiplicação por Escalar não é satisfeito, já que para qualquer escalar e vetor , temos em vez de . Além disso, outros axiomas relacionados à multiplicação por escalares também não são cumpridos.

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