Seja A a matriz:
© (10 pontos) Seja C a matriz obtida de A após serem feitas as seguintes operações elementares sobre as linhas de A :
L1 rightarrow L2 L4 L4+2 L2 L3 12 L3
Calcule o determinante de C utilizando as propriedades do determinante.
A=(rrrr 2 & 1 & 2 & 4 0 & 1 & -2 & 3 0 & 0 & -1 & 5 0 & 0 & 0 & 3 )

Passo 1

Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma matriz e vamos fazer umas operações nas linhas dela para obter uma nova matriz . Nosso objetivo é calcular o determinante de usando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender como cada operação afeta o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original det(A) = 2 times 1 times (-1) times 3 = -6 . Como é uma matriz triangular superior (os números abaixo da diagonal são zero), o determinante é só o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 3

Agora, vamos ver como cada operação nas linhas de det' = -det(A) = -(-6) = 6 impacta o determinante:
  1. Troca de det'' = 12 times det' = 12 times 6 = 3 e : Quando trocamos duas linhas de uma matriz, o sinal do determinante muda. Então, após essa troca:
  1. Multiplicação de por : Quando multiplicamos uma linha por um número, o determinante da matriz é multiplicado por esse número. Então, após multiplicar por :
  1. Adição de vezes à : Quando adicionamos um múltiplo de uma linha a outra, o determinante não muda. Então, essa operação não afeta o determinante.

Resposta

O determinante da matriz é .

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