Seja a matriz:
© (10 pontos) Seja a matriz obtida de após serem feitas as seguintes operações elementares sobre as linhas de :
Calcule o determinante de utilizando as propriedades do determinante.

Passo 1

Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma matriz e vamos fazer umas operações nas linhas dela para obter uma nova matriz . Nosso objetivo é calcular o determinante de usando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender como cada operação afeta o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original . Como é uma matriz triangular superior (os números abaixo da diagonal são zero), o determinante é só o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 3

Agora, vamos ver como cada operação nas linhas de impacta o determinante:
  1. Troca de e : Quando trocamos duas linhas de uma matriz, o sinal do determinante muda. Então, após essa troca:
  1. Multiplicação de por : Quando multiplicamos uma linha por um número, o determinante da matriz é multiplicado por esse número. Então, após multiplicar por :
  1. Adição de vezes à : Quando adicionamos um múltiplo de uma linha a outra, o determinante não muda. Então, essa operação não afeta o determinante.

Resposta

O determinante da matriz é .

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Considere os pontos e .
(d) Determine a equação do círculo que passa pelos pontos e .
Considere os pontos e .
(a) Determine a área do triângulo cujos vértices são formados pelos pontos e .
Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Quais das equações a seguir representam um círculo. Caso seja um círculo, diga quem é o raio e o centro.
(a) ;