Considere os vetores u=(1raiz2, 0, 1raiz2) e v=(alpha, 1raiz2,-beta). Para quais valores de alpha, beta in R os vetores u e v são ortonormais em relação ao produto interno de R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de alpha e beta tal que os vetores u = (1raiz2, 0, 1raiz2) e v = (alpha, 1raiz2, -beta) sejam ortonormais no espaço R^3. Isso envolve conceitos de produto interno e vetores ortonormais. Vamos precisar calcular o produto interno entre u e v e garantir que ambos os vetores tenham norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores ortonormais. Dois vetores são ortonormais se eles são perpendiculares (produto interno igual a zero) e se cada um tem norma igual a 1. Então, precisamos verificar duas coisas:
  1. Ortogonalidade: u cdot v = 0
  2. Normalização: |u| = 1 e |v| = 1

Passo 3

Vamos começar verificando a ortogonalidade. O produto interno entre u e v é dado por:
u cdot v = 1raiz2 cdot alpha + 0 cdot 1raiz2 + 1raiz2 cdot (-beta) = alpharaiz2 - betaraiz2
Para que u e v sejam ortogonais, esse produto precisa ser zero:
alpharaiz2 - betaraiz2 = 0
Simplificando:
alpha - beta = 0 Rightarrow alpha = beta

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores são normalizados, ou seja, se têm norma igual a 1.
Primeiro, a norma de u:
|u| = raiz(1raiz2)^2 + 0^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1
Então, u já está normalizado.
Agora, a norma de v:
|v| = raizalpha^2 + (1raiz2)^2 + (-beta)^2 = raizalpha^2 + 12 + beta^2
Para |v| = 1, temos:
raizalpha^2 + 12 + beta^2 = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
alpha^2 + 12 + beta^2 = 1

Passo 5

Lembrando que já encontramos que alpha = beta, podemos substituir beta por alpha na equação acima:
alpha^2 + 12 + alpha^2 = 1
Somando os termos semelhantes:
2alpha^2 + 12 = 1
Subtraindo 12 de ambos os lados:
2alpha^2 = 12
Dividindo por 2:
alpha^2 = 14

Passo 6

Resolvendo para alpha:
alpha = pm 12
E como alpha = beta, também temos:
beta = pm 12

Resposta

Os valores de alpha e beta que tornam os vetores ortonormais são alpha = beta = 12 ou alpha = beta = -12.

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