Considere os vetores e . Para quais valores de os vetores e são ortonormais em relação ao produto interno de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e tal que os vetores e sejam ortonormais no espaço . Isso envolve conceitos de produto interno e vetores ortonormais. Vamos precisar calcular o produto interno entre e e garantir que ambos os vetores tenham norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores ortonormais. Dois vetores são ortonormais se eles são perpendiculares (produto interno igual a zero) e se cada um tem norma igual a 1. Então, precisamos verificar duas coisas:
  1. Ortogonalidade:
  2. Normalização: e

Passo 3

Vamos começar verificando a ortogonalidade. O produto interno entre e é dado por:
Para que e sejam ortogonais, esse produto precisa ser zero:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores são normalizados, ou seja, se têm norma igual a 1.
Primeiro, a norma de :
Então, já está normalizado.
Agora, a norma de :
Para , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Lembrando que já encontramos que , podemos substituir por na equação acima:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Resolvendo para :
E como , também temos:

Resposta

Os valores de e que tornam os vetores ortonormais são ou .

Exercícios relacionados

Seja a matriz:
(a) (5 pontos) Encontre o determinante de .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(j) .
Considere os pontos e .
(a) Determine a área do triângulo cujos vértices são formados pelos pontos e .
Considere os pontos e .
(d) Determine a equação do círculo que passa pelos pontos e .