Considere os vetores
e
. Para quais valores de
os vetores
e
são ortonormais em relação ao produto interno de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
e
tal que os vetores
e
sejam ortonormais no espaço
. Isso envolve conceitos de produto interno e vetores ortonormais. Vamos precisar calcular o produto interno entre
e
e garantir que ambos os vetores tenham norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores ortonormais. Dois vetores são ortonormais se eles são perpendiculares (produto interno igual a zero) e se cada um tem norma igual a 1. Então, precisamos verificar duas coisas:
- Ortogonalidade:
- Normalização:
e
Passo 3
Vamos começar verificando a ortogonalidade. O produto interno entre
e
é dado por:
Para que
e
sejam ortogonais, esse produto precisa ser zero:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores são normalizados, ou seja, se têm norma igual a 1.
Primeiro, a norma de
:
Então,
já está normalizado.
Agora, a norma de
:
Para
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Lembrando que já encontramos que
, podemos substituir
por
na equação acima:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Passo 6
Resolvendo para
:
E como
, também temos:
Resposta
Os valores de
e
que tornam os vetores ortonormais são
ou
.