Considere os vetores e . Para quais valores de os vetores e são ortonormais em relação ao produto interno de ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e tal que os vetores e sejam ortonormais no espaço . Isso envolve conceitos de produto interno e vetores ortonormais. Vamos precisar calcular o produto interno entre e e garantir que ambos os vetores tenham norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores ortonormais. Dois vetores são ortonormais se eles são perpendiculares (produto interno igual a zero) e se cada um tem norma igual a 1. Então, precisamos verificar duas coisas:
Ortogonalidade:
Normalização: e
Passo 3
Vamos começar verificando a ortogonalidade. O produto interno entre e é dado por:
Para que e sejam ortogonais, esse produto precisa ser zero:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores são normalizados, ou seja, se têm norma igual a 1.
Primeiro, a norma de :
Então, já está normalizado.
Agora, a norma de :
Para , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Lembrando que já encontramos que , podemos substituir por na equação acima:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Passo 6
Resolvendo para :
E como , também temos:
Resposta
Os valores de e que tornam os vetores ortonormais são ou .