Considere os pontos e no espaço e pi:2x-2y+z-5=0 um plano. Determine qual o ponto mais próximo e qual o ponto mais distante.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos quatro pontos no espaço: , , e , além de um plano dado pela equação . Nosso objetivo é descobrir qual desses pontos está mais perto e qual está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto até um plano . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da equação do plano . Comparando com a forma geral , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de cada ponto , , e até o plano usando a fórmula mencionada.

Passo 5

Para o ponto A :
Isso significa que o ponto está exatamente sobre o plano.

Passo 6

Para o ponto B :

Passo 7

Para o ponto C :

Passo 8

Para o ponto D :

Resposta

O ponto mais próximo do plano é o ponto que está no próprio plano, e o ponto mais distante é o ponto , com uma distância de aproximadamente unidades.

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