Considere os pontos e no espaço e pi:2x-2y+z-5=0 um plano. Determine qual o ponto mais próximo e qual o ponto mais distante.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos quatro pontos no espaço: , , e , além de um plano dado pela equação . Nosso objetivo é descobrir qual desses pontos está mais perto e qual está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto até um plano . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes da equação do plano . Comparando com a forma geral , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância de cada ponto , , e até o plano usando a fórmula mencionada.
Passo 5
Para o ponto A :
Isso significa que o ponto está exatamente sobre o plano.
Passo 6
Para o ponto B :
Passo 7
Para o ponto C :
Passo 8
Para o ponto D :
Resposta
O ponto mais próximo do plano é o ponto que está no próprio plano, e o ponto mais distante é o ponto , com uma distância de aproximadamente unidades.