Considere os pontos A=(2,1,3), B= (3,2,4), C=(-1,-1,-1) e D=(0,1,-1) no espaço e pi:2x-2y+z-5=0 um plano. Determine qual o ponto mais próximo e qual o ponto mais distante.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos quatro pontos no espaço: , , e , além de um plano dado pela equação . Nosso objetivo é descobrir qual desses pontos está mais perto e qual está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até um plano . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da equação do plano . Comparando com a forma geral , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de cada ponto , , e até o plano usando a fórmula mencionada.

Passo 5

Para o ponto A (2,1,3):
dA = |2(2) + (-2)(1) + 1(3) - 5|raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = |4 - 2 + 3 - 5|raiz4 + 4 + 1 = |0|3 = 0
Isso significa que o ponto está exatamente sobre o plano.

Passo 6

Para o ponto B (3,2,4):
dB = |2(3) + (-2)(2) + 1(4) - 5|raiz4 + 4 + 1 = |6 - 4 + 4 - 5|3 = |1|3 approx 0,333

Passo 7

Para o ponto C (-1,-1,-1):
dC = |2(-1) + (-2)(-1) + 1(-1) - 5|3 = |-2 + 2 - 1 - 5|3 = |-6|3 = 2

Passo 8

Para o ponto D (0,1,-1):
dD = |2(0) + (-2)(1) + 1(-1) - 5|3 = |0 - 2 - 1 - 5|3 = |-8|3 approx 2,666

Resposta

O ponto mais próximo do plano é o ponto que está no próprio plano, e o ponto mais distante é o ponto , com uma distância de aproximadamente unidades.

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