Sejam e espaços vetoriais sobre um corpo . Defina
Prove que é um espaço vetorial sobre com as operações
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre o corpo . A matéria envolvida aqui é a teoria dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial usando as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ele é formado por todos os pares ordenados , onde vem do espaço vetorial e vem de . As operações definidas são:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar: , onde é um escalar em
Nosso objetivo é verificar se, com essas operações, é de fato um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se é fechado sob adição. Isso significa que, se a gente somar dois elementos de , o resultado também deve estar em .
Como e estão em , e é um espaço vetorial, também está em . O mesmo vale para em . Portanto, está em . Ou seja, é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição, ou seja, um vetor em que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Sabemos que em existe o vetor zero e em existe o vetor zero . Então, o par está em . Ao somar qualquer com :
Portanto, é o elemento neutro de para a adição.

Passo 5

Vamos verificar agora a existência dos inversos aditivos. Ou seja, para cada em , deve existir um tal que:
Como e são espaços vetoriais, sabemos que está em e está em . Então, está em , e a soma dá o elemento neutro, satisfazendo o axioma.

Passo 6

Vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos ver se, ao multiplicar um elemento de por um escalar em , o resultado ainda está em .
Como está em e é um espaço vetorial, também está em . O mesmo vale para em . Assim, pertence a , garantindo que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Agora, vamos conferir a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a distributividade está satisfeita.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Novamente, os dois lados são iguais, então a distributividade está ok.

Passo 9

Vamos conferir a compatibilidade da multiplicação por escalares com a multiplicação de escalares do campo . Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então essa propriedade está satisfeita.

Passo 10

Finalmente, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que multiplicar por 1 (o elemento neutro de ) não altera o vetor:
Isso confirma que a identidade está mantida.

Resposta

Prontinho! Verificamos todos os axiomas necessários e concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.

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