Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F. Defina
Z=(v, w) mid v in V e w in W
Prove que Z é um espaço vetorial sobre F com as operações
(v1, w1)+(v2, w2)=(v1+v2, w1+w2) e c(v1, w1)=(c v1, c w1)
onde c in F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre o corpo . A matéria envolvida aqui é a teoria dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial usando as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ele é formado por todos os pares ordenados , onde vem do espaço vetorial e vem de . As operações definidas são:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar: , onde é um escalar em
Nosso objetivo é verificar se, com essas operações, é de fato um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se é fechado sob adição. Isso significa que, se a gente somar dois elementos de , o resultado também deve estar em .
Como e estão em , e é um espaço vetorial, também está em . O mesmo vale para em . Portanto, está em . Ou seja, é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição, ou seja, um vetor em (v, w) + (0V, 0W) = (v + 0V, w + 0W) = (v, w) que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Sabemos que em existe o vetor zero e em existe o vetor zero . Então, o par está em . Ao somar qualquer com :
Portanto, é o elemento neutro de para a adição.

Passo 5

Vamos verificar agora a existência dos inversos aditivos. Ou seja, para cada (v, w) + (-v, -w) = (0V, 0W) em , deve existir um tal que:
Como e são espaços vetoriais, sabemos que está em e está em . Então, está em , e a soma dá o elemento neutro, satisfazendo o axioma.

Passo 6

Vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos ver se, ao multiplicar um elemento de por um escalar em , o resultado ainda está em .
Como está em e é um espaço vetorial, também está em . O mesmo vale para em . Assim, pertence a , garantindo que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Agora, vamos conferir a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Precisamos mostrar que:
c ( (v1, w1) + (v2, w2) ) = c(v1, w1) + c(v2, w2)
Calculando o lado esquerdo:
c ( (v1 + v2, w1 + w2) ) = (c(v1 + v2), c(w1 + w2)) = (c v1 + c v2, c w1 + c w2)
E o lado direito:
c(v1, w1) + c(v2, w2) = (c v1, c w1) + (c v2, c w2) = (c v1 + c v2, c w1 + c w2)
Como os dois lados são iguais, a distributividade está satisfeita.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos mostrar que:
(c + d)(v, w) = c(v, w) + d(v, w)
Calculando o lado esquerdo:
(c + d)(v, w) = ((c + d)v, (c + d)w) = (c v + d v, c w + d w)
E o lado direito:
c(v, w) + d(v, w) = (c v, c w) + (d v, d w) = (c v + d v, c w + d w)
Novamente, os dois lados são iguais, então a distributividade está ok.

Passo 9

Vamos conferir a compatibilidade da multiplicação por escalares com a multiplicação de escalares do campo c(d(v, w)) = (cd)(v, w) . Precisamos mostrar que:
c(d(v, w)) = c(d v, d w) = (c(d v), c(d w)) = (cd v, cd w)
Calculando o lado esquerdo:
(cd)(v, w) = (cd v, cd w)
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então essa propriedade está satisfeita.

Passo 10

Finalmente, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que multiplicar por 1 (o elemento neutro de 1(v, w) = (1 v, 1 w) = (v, w) ) não altera o vetor:
Isso confirma que a identidade está mantida.

Resposta

Prontinho! Verificamos todos os axiomas necessários e concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.

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