Sejam
e
espaços vetoriais sobre um corpo
. Defina
Prove que
é um espaço vetorial sobre
com as operações
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre o corpo
. A matéria envolvida aqui é a teoria dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial usando as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ele é formado por todos os pares ordenados
, onde
vem do espaço vetorial
e
vem de
. As operações definidas são:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
, onde é um escalar em
Nosso objetivo é verificar se, com essas operações,
é de fato um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se
é fechado sob adição. Isso significa que, se a gente somar dois elementos de
, o resultado também deve estar em
.
Como
e
estão em
, e
é um espaço vetorial,
também está em
. O mesmo vale para
em
. Portanto,
está em
. Ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição, ou seja, um vetor em
que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Sabemos que em
existe o vetor zero
e em
existe o vetor zero
. Então, o par
está em
. Ao somar qualquer
com
:
Portanto,
é o elemento neutro de
para a adição.
Passo 5
Vamos verificar agora a existência dos inversos aditivos. Ou seja, para cada
em
, deve existir um
tal que:
Como
e
são espaços vetoriais, sabemos que
está em
e
está em
. Então,
está em
, e a soma dá o elemento neutro, satisfazendo o axioma.
Passo 6
Vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos ver se, ao multiplicar um elemento de
por um escalar
em
, o resultado ainda está em
.
Como
está em
e
é um espaço vetorial,
também está em
. O mesmo vale para
em
. Assim,
pertence a
, garantindo que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Agora, vamos conferir a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a distributividade está satisfeita.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Novamente, os dois lados são iguais, então a distributividade está ok.
Passo 9
Vamos conferir a compatibilidade da multiplicação por escalares com a multiplicação de escalares do campo
. Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então essa propriedade está satisfeita.
Passo 10
Finalmente, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que multiplicar por 1 (o elemento neutro de
) não altera o vetor:
Isso confirma que a identidade está mantida.
Resposta
Prontinho! Verificamos todos os axiomas necessários e concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.