Seja
. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de
. Calcule os autovalores de
. A transformação
é diagonalizável? Porque?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de funções
. Nosso objetivo é achar os autovalores da aplicação derivada
, que simplesmente pega uma função e retorna sua derivada. Além disso, queremos saber se essa transformação
pode ser diagonalizada, ou seja, se existe uma base onde
é representada por uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e autovalores de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a aplicação derivada
age nas funções de
. Seja uma função
. A derivada dessa função é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os autovalores
tais que:
Isso significa que:
Vamos separar isso em partes para facilitar.
Passo 4
Vamos igualar os coeficientes das funções trigonométricas e exponenciais de ambos os lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Vamos resolver as equações 1 e 2 para encontrar possíveis valores de
:
Da equação 1:
Substituindo na equação 2:
Então, temos dois autovalores complexos:
e
.
Passo 6
A equação 3 nos dá outro autovalor real:
Esse é um autovalor real que depende do valor de
.
Passo 7
Portanto, os autovalores de
são:
Passo 8
Para verificar se a transformação
é diagonalizável, precisamos que exista uma base formada por autovetores distintos. Como temos três autovalores distintos (
,
e
), e cada um corresponde a um autovetor diferente, podemos concluir que
é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores da aplicação derivada
são
,
e
. Além disso, a transformação
é diagonalizável porque possui três autovalores distintos, permitindo uma base de autovetores.