Seja E=a cos (x)+b sin (x)+c^-x ; a, b, c in R. Seja D: E E a aplicação derivada, i.e., D(h) é a derivada de h. Calcule os autovalores de D. A transformação D é diagonalizável? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um conjunto de funções . Nosso objetivo é achar os autovalores da aplicação derivada , que simplesmente pega uma função e retorna sua derivada. Além disso, queremos saber se essa transformação pode ser diagonalizada, ou seja, se existe uma base onde é representada por uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e autovalores de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a aplicação derivada D(h) = h'(x) = -a sin(x) + b cos(x) - ln(c) cdot c^-x age nas funções de . Seja uma função . A derivada dessa função é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os autovalores D(h) = lambda h tais que:
-a sin(x) + b cos(x) - ln(c) cdot c^-x = lambda (a cos(x) + b sin(x) + c^-x)
Isso significa que:
Vamos separar isso em partes para facilitar.

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes das funções trigonométricas e exponenciais de ambos os lados da equação:
  1. Para b = lambda a :
- a = lambda b
  1. Para - ln(c) = lambda :
  1. Para :

Passo 5

Vamos resolver as equações 1 e 2 para encontrar possíveis valores de - a = lambda (lambda a) Rightarrow -a = lambda^2 a :
Da equação 1: Rightarrow lambda^2 = -1 Rightarrow lambda = i ou lambda = -i
Substituindo na equação 2:
Então, temos dois autovalores complexos: e .

Passo 6

A equação 3 nos dá outro autovalor real:
lambda = -ln(c)
Esse é um autovalor real que depende do valor de .

Passo 7

Portanto, os autovalores de lambda = i, lambda = -i, lambda = -ln(c) são:

Passo 8

Para verificar se a transformação é diagonalizável, precisamos que exista uma base formada por autovetores distintos. Como temos três autovalores distintos ( , e ), e cada um corresponde a um autovetor diferente, podemos concluir que é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores da aplicação derivada são , e . Além disso, a transformação é diagonalizável porque possui três autovalores distintos, permitindo uma base de autovetores.

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