Dê um exemplo de um par de séries
e
com termos positivos para as quais
e
diverge, mas,
converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar dois tipos de séries com termos positivos. Precisamos que o limite da razão entre os termos das duas séries seja zero, que uma das séries diverja e a outra converja. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries numéricas, que estuda quando essas somas infinitas dão um resultado finito (convergem) ou não (divergem). Vamos precisar entender sobre séries harmônicas e séries p.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher a série
para ser uma série que sabemos que diverge. Um bom exemplo é a série harmônica, que é
. Sabemos que essa série diverge porque a soma dos inversos dos números naturais cresce sem limite.
Passo 3
Agora, precisamos escolher a série
que converja. Vamos usar uma série p, onde
e
. Por exemplo, vamos escolher
, então
. Sabemos que para
, a série p converge.
Passo 4
Vamos verificar o limite solicitado:
. Substituindo nossos valores:
Então,
Isso confirma que o limite da razão entre
e
é zero, conforme solicitado.
Resposta
Um exemplo válido é:
onde
converge,
diverge, e
.