Dê um exemplo de um par de séries sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn com termos positivos para as quais lim n +infty(anbn)=0 e sumn=1^+infty bn diverge, mas, sumn=1^+infty an converge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar dois tipos de séries com termos positivos. Precisamos que o limite da razão entre os termos das duas séries seja zero, que uma das séries diverja e a outra converja. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries numéricas, que estuda quando essas somas infinitas dão um resultado finito (convergem) ou não (divergem). Vamos precisar entender sobre séries harmônicas e séries p.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a série para ser uma série que sabemos que diverge. Um bom exemplo é a série harmônica, que é . Sabemos que essa série diverge porque a soma dos inversos dos números naturais cresce sem limite.

Passo 3

Agora, precisamos escolher a série que converja. Vamos usar uma série p, onde e . Por exemplo, vamos escolher , então . Sabemos que para , a série p converge.

Passo 4

Vamos verificar o limite solicitado: anbn = 1n^21n = 1n . Substituindo nossos valores:
limn +infty(1n) = 0
Então,
Isso confirma que o limite da razão entre e é zero, conforme solicitado.

Resposta

Um exemplo válido é:
an = 1n^2 e bn = 1n
onde converge, diverge, e .

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