Determinar o vetor u, paralelo ao vetor v=(2,-1,3), tal que u cdot v=-42.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar um vetor u que seja paralelo ao vetor dado v = (2, -1, 3) e que o produto escalar entre u e v seja igual a -42. Vamos precisar saber o que significa vetores paralelos e como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, como u é paralelo a v, isso significa que u é um múltiplo escalar de v. Em outras palavras, podemos escrever u = k cdot v, onde k é um número real que vamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação do produto escalar. O produto escalar entre u e v é dado por:
u cdot v = (k cdot v) cdot v = k cdot (v cdot v)
Sabemos que isso deve ser igual a -42, então temos:
k cdot (v cdot v) = -42

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot v. Isso é igual à soma dos quadrados das componentes de v:
v cdot v = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 4 + 1 + 9 = 14

Passo 5

Substituindo esse valor na equação anterior:
k cdot 14 = -42
Para encontrar k, dividimos ambos os lados por 14:
k = -4214 = -3

Passo 6

Agora que temos o valor de k, podemos encontrar u:
u = k cdot v = -3 cdot (2, -1, 3) = (-6, 3, -9)

Resposta

O vetor u é (-6, 3, -9).

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