Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são -7 e 9 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2] A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr-7 & 0 0 & 9] M^-1
(B) A^-1=M^-1[rr-17 & 0 0 & 19] M
© A^-1=M[rr-17 & 0 0 & 19] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr-7 & 0 0 & 9] M
(E) A^-1=M[rr7 & 0 0 & -9] M^-1
(F) A^-1=M^-1[rr7 & 0 0 & -9] M
(G) Näo sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz ll v1 & v2 de tamanho que possui dois autovalores: -7 e 9, com vetores próprios associados e , respectivamente. Também foi definida uma matriz formada por esses vetores próprios, ou seja, .
O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e matrizes inversas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como expressar a matriz inversa usando os autovalores e os vetores próprios de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz A = M Lambda M^-1 tem uma base de vetores próprios, podemos diagonalizá-la. Isso significa que podemos escrever Lambda = [cc -7 & 0 0 & 9 ] como:
Aqui, é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de , e é uma matriz diagonal que contém os autovalores de na diagonal principal. No nosso caso, os autovalores são -7 e 9, então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inversa de A^-1 = (M Lambda M^-1)^-1 , ou seja, A^-1 = M (Lambda)^-1 M^-1 . Usando a relação que temos para Lambda^-1 = [cc -17 & 0 0 & 19 ] , podemos inverter os dois lados da equação:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa. Além disso, a inversa de uma matriz diagonal é simplesmente a matriz diagonal com os recíprocos dos elementos originais. Portanto:
Onde:

Passo 4

Substituindo A^-1 = M [cc -17 & 0 0 & 19 ] M^-1 na expressão de cc -17 & 0 0 & 19 , temos:
Isso nos mostra que a expressão correta para está na opção:
©

Resposta

A opção correta é a © cc -17 & 0 0 & 19 .

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