Seja
uma matriz
cujos autovalores são -7 e 9 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Näo sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Näo sei
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de tamanho
que possui dois autovalores: -7 e 9, com vetores próprios associados
e
, respectivamente. Também foi definida uma matriz
formada por esses vetores próprios, ou seja,
.
O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e matrizes inversas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como expressar a matriz inversa
usando os autovalores e os vetores próprios de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
tem uma base de vetores próprios, podemos diagonalizá-la. Isso significa que podemos escrever
como:
Aqui,
é a matriz cujas colunas são os vetores próprios de
, e
é uma matriz diagonal que contém os autovalores de
na diagonal principal. No nosso caso, os autovalores são -7 e 9, então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a inversa de
, ou seja,
. Usando a relação que temos para
, podemos inverter os dois lados da equação:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa. Além disso, a inversa de uma matriz diagonal é simplesmente a matriz diagonal com os recíprocos dos elementos originais. Portanto:
Onde:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, temos:
Isso nos mostra que a expressão correta para
está na opção:
©
Resposta
A opção correta é a ©
.