Considere os pontos A=(2,3), B=(2,1), C=(0,-2) e D=(3,3). Verifique que os segmentos AB e CD se interceptam. Determine o ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos: A(2,3), B(2,1), C(0,-2) e D(3,3). A missão é ver se os segmentos AB e CD se cruzam e, se sim, descobrir onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que envolve trabalhar com equações de retas e coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os segmentos AB e CD. O segmento AB liga A(2,3) a B(2,1). Já o segmento CD liga C(0,-2) a D(3,3). Para verificar se eles se interceptam, precisamos encontrar as equações das retas que passam por cada par de pontos.

Passo 3

Vamos começar com o segmento AB. Olhando para os pontos A(2,3) e B(2,1), percebemos que ambos têm a mesma coordenada x (x=2). Isso significa que a reta AB é vertical e sua equação é simplesmente x = 2.

Passo 4

Agora, vamos para o segmento CD, que liga C(0,-2) a D(3,3). Nessa reta, podemos ter uma inclinação (slope) que não é vertical. Para encontrar a equação dessa reta, precisamos calcular a inclinação (m) usando a fórmula:
m = yD - yCxD - xC = 3 - (-2)3 - 0 = 53
Então, a inclinação m é 5/3.

Passo 5

Com a inclinação em mãos, vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - yC = m(x - xC)
Substituindo os valores de C(0,-2) e m = 5/3:
y - (-2) = 53(x - 0) y + 2 = 53x y = 53x - 2
Então, a equação da reta CD é .

Passo 6

Agora que temos as duas equações das retas AB e CD, vamos encontrar o ponto de interseção. A reta AB é x = 2, então podemos substituir x por 2 na equação da reta CD para encontrar y:
y = 53(2) - 2 y = 103 - 2 y = 103 - 63 y = 43
Então, o ponto de interseção tem coordenadas (2, 4/3).

Passo 7

Por último, vamos verificar se esse ponto realmente está dentro dos segmentos AB e CD.
Para AB, x = 2 está entre as coordenadas x de A e B (que também são 2), e y = 4/3 está entre 1 e 3.
Para CD, x = 2 está entre 0 e 3, e y = 4/3 está entre -2 e 3.
Tudo confere, então os segmentos realmente se intersectam nesse ponto.

Resposta

Os segmentos AB e CD se interceptam no ponto (2,  ).

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