Considere os pontos
e
.
(a) Encontre a equação cartesiana da reta r que passa pelos pontos A e C.
(b) Encontre a equação cartesiana da reta s que passa por B e é perpendicular à reta r .
© Encontre a altura h do triangulo ABC em relação a base AC .
(a) Encontre a equação cartesiana da reta r que passa pelos pontos A e C.
(b) Encontre a equação cartesiana da reta s que passa por B e é perpendicular à reta r .
© Encontre a altura h do triangulo ABC em relação a base AC .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano:
,
e
. O exercício pede para a gente:
a) Encontrar a equação da reta
que passa pelos pontos
e
.
b) Encontrar a equação da reta que passa por
e é perpendicular à reta
.
c) Encontrar a altura do triângulo
em relação à base
.
b) Encontrar a equação da reta
c) Encontrar a altura
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta, inclinação, e distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Parte a: Encontrar a equação da reta
que passa pelos pontos
e
.
Primeiro, pra achar a equação da reta, a gente precisa saber dois elementos: a inclinação da reta (m) e um ponto que ela passa. A fórmula geral da reta é:
Onde:
-
é a inclinação, -
é o intercepto com o eixo y.
Mas antes, vamos calcular a inclinação
usando os pontos
e
. A fórmula para a inclinação entre dois pontos
e
é:
Aplicando os valores de
e
:
Agora que temos a inclinação, vamos usar o ponto
para achar o intercepto
. Substituímos
,
e
na equação da reta:
Então, a equação da reta
é:
Passo 3
Parte b: Encontrar a equação da reta
que passa por
e é perpendicular à reta
.
Para uma reta ser perpendicular a outra, a inclinação dela é o negativo do inverso da inclinação original. A inclinação da reta
é
. Então, a inclinação
da reta
será:
Agora, sabemos que a reta
tem inclinação
e passa pelo ponto
. Vamos usar a forma ponto-inclinação para achar a equação da reta:
Substituindo
,
, e
:
Então, a equação da reta
é:
Passo 4
Parte c: Encontrar a altura
do triângulo
em relação à base
.
A altura de um triângulo em relação a uma base é a distância do ponto que não está na base até a reta que representa a base. Aqui, queremos a distância do ponto
até a reta
, que é a reta
com equação
.
A fórmula para a distância de um ponto
até uma reta
é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta
na forma geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Agora,
,
, e
.
Substituindo na fórmula da distância com
e
:
Podemos racionalizar o denominador:
Então, a altura
é:
Resposta
a) A equação da reta
é
.
b) A equação da reta
é
.
c) A altura
do triângulo
em relação à base
é
.
Exercícios relacionados
Determinar o gráfico correspondente da equação
Considere
. Sendo
e
em
determine um vetor
desse espaço tal que
e
.
Para qual dos dois vetores,
ou
, o sistema linear
possui solução?
Considere os pontos
e
. Verifique que os segmentos AB e CD se interceptam. Determine o ponto de interseção.