Considere os pontos A=(2,4), B=(4,5) e C=(5,2).
(a) Encontre a equação cartesiana da reta r que passa pelos pontos A e C.
(b) Encontre a equação cartesiana da reta s que passa por B e é perpendicular à reta r .
© Encontre a altura h do triangulo ABC em relação a base AC .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano: , e . O exercício pede para a gente:
a) Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e .
b) Encontrar a equação da reta que passa por e é perpendicular à reta .
c) Encontrar a altura do triângulo em relação à base .
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta, inclinação, e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Parte a: Encontrar a equação da reta y = mx + b que passa pelos pontos m = y2 - y1x2 - x1 e m = 2 - 45 - 2 = -23 = -23 .
Primeiro, pra achar a equação da reta, a gente precisa saber dois elementos: a inclinação da reta (m) e um ponto que ela passa. A fórmula geral da reta é:
4 = -23 cdot 2 + b 4 = -43 + b b = 4 + 43 = 123 + 43 = 163
Onde:
  • y = -23x + 163 é a inclinação,
  • é o intercepto com o eixo y.
Mas antes, vamos calcular a inclinação usando os pontos e . A fórmula para a inclinação entre dois pontos e é:
Aplicando os valores de e :
Agora que temos a inclinação, vamos usar o ponto para achar o intercepto . Substituímos , e na equação da reta:
Então, a equação da reta é:

Passo 3

Parte b: Encontrar a equação da reta ms = -1mr = -1-23 = 32 que passa por y - y1 = m(x - x1) e é perpendicular à reta y - 5 = 32(x - 4) y - 5 = 32x - 6 y = 32x - 1 .
Para uma reta ser perpendicular a outra, a inclinação dela é o negativo do inverso da inclinação original. A inclinação da reta y = 32x - 1 é . Então, a inclinação da reta será:
Agora, sabemos que a reta tem inclinação e passa pelo ponto . Vamos usar a forma ponto-inclinação para achar a equação da reta:
Substituindo , , e :
Então, a equação da reta é:

Passo 4

Parte c: Encontrar a altura d = |ax0 + by0 + c|raiza^2 + b^2 do triângulo y = -23x + 163 Rightarrow 23x + y - 163 = 0 em relação à base 2x + 3y - 16 = 0 .
A altura de um triângulo em relação a uma base é a distância do ponto que não está na base até a reta que representa a base. Aqui, queremos a distância do ponto d = |2 cdot 4 + 3 cdot 5 - 16|raiz2^2 + 3^2 = |8 + 15 - 16|raiz4 + 9 = |7|raiz13 = 7raiz13 até a reta d = 7raiz13 cdot raiz13raiz13 = 7raiz1313 , que é a reta h = 7raiz1313 com equação .
A fórmula para a distância de um ponto até uma reta é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Agora, , , e .
Substituindo na fórmula da distância com e :
Podemos racionalizar o denominador:
Então, a altura é:

Resposta

a) A equação da reta é .
b) A equação da reta é .
c) A altura do triângulo em relação à base é .

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