Considere os pontos e e a reta r : . Encontre os centros dos círculos de raio igual a que passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta r .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os centros de círculos que têm raio igual a , passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta . Para isso, vamos usar conceitos de equação de círculos e distância de pontos a retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de um círculo. Ela é dada por:
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. No nosso caso, sabemos que .

Passo 3

Como os círculos passam pelos pontos A e B , esses pontos devem satisfazer a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação do círculo para obter duas equações:
Para o ponto A:
Para o ponto B:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos expandir as equações para simplificar:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Dividindo tudo por -4:

Passo 6

Agora temos uma relação entre e : . Vamos expressar em termos de :

Passo 7

Vamos substituir em uma das equações originais para encontrar o valor de . Vamos usar a primeira equação simplificada:
Substituindo :
Expande:
Simplifica:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar a fração:

Passo 8

Agora temos uma equação quadrática em :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos verificar os passos novamente.

Passo 9

Após revisar os cálculos, percebemos que houve um erro na expansão das equações. Vamos refazer a substituição corretamente:
Voltando à substituição de na primeira equação simplificada:
Expande:
Simplifica:
Agora, multiplica tudo por 10:
Essa equação ainda tem discriminante negativo, o que sugere que não há solução real. Isso significa que não existem círculos com o raio dado que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta r.

Resposta

Não existem centros de círculos com raio igual a que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta .

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