Considere os pontos
e
e a reta r :
. Encontre os centros dos círculos de raio igual a
que passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta r .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os centros de círculos que têm raio igual a
, passam pelos pontos A
e B
, e são tangentes à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de equação de círculos e distância de pontos a retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de um círculo. Ela é dada por:
Aqui,
é o centro do círculo e
é o raio. No nosso caso, sabemos que
.
Passo 3
Como os círculos passam pelos pontos A
e B
, esses pontos devem satisfazer a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação do círculo para obter duas equações:
Para o ponto A:
Para o ponto B:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos expandir as equações para simplificar:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 5
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Dividindo tudo por -4:
Passo 6
Agora temos uma relação entre
e
:
. Vamos expressar
em termos de
:
Passo 7
Vamos substituir
em uma das equações originais para encontrar o valor de
. Vamos usar a primeira equação simplificada:
Substituindo
:
Expande:
Simplifica:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar a fração:
Passo 8
Agora temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos verificar os passos novamente.
Passo 9
Após revisar os cálculos, percebemos que houve um erro na expansão das equações. Vamos refazer a substituição corretamente:
Voltando à substituição de
na primeira equação simplificada:
Expande:
Simplifica:
Agora, multiplica tudo por 10:
Essa equação ainda tem discriminante negativo, o que sugere que não há solução real. Isso significa que não existem círculos com o raio dado que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta r.
Resposta
Não existem centros de círculos com raio igual a
que passam pelos pontos A
e B
e são tangentes à reta
.
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e
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e
, onde
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e
são
Seja
tal que
. Ache os vetores
e
tais que
e
.