Considere os pontos A=(1,3) e B=(3,5) e a reta r : x-3 y=1. Encontre os centros dos círculos de raio igual a 1raiz10 que passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta r .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar os centros de círculos que têm raio igual a , passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta . Para isso, vamos usar conceitos de equação de círculos e distância de pontos a retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de um círculo. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. No nosso caso, sabemos que .

Passo 3

Como os círculos passam pelos pontos A (1 - h)^2 + (3 - k)^2 = (1raiz10)^2 e B (1 - h)^2 + (3 - k)^2 = 110 , esses pontos devem satisfazer a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação do círculo para obter duas equações:
Para o ponto A:
(3 - h)^2 + (5 - k)^2 = (1raiz10)^2
(3 - h)^2 + (5 - k)^2 = 110
Para o ponto B:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( (1 - h)^2 + (3 - k)^2 = 110 e (1 - 2h + h^2) + (9 - 6k + k^2) = 110 ). Vamos expandir as equações para simplificar:
Primeira equação:
h^2 + k^2 - 2h - 6k + 10 = 110
h^2 + k^2 - 2h - 6k = -9910
(3 - h)^2 + (5 - k)^2 = 110
(9 - 6h + h^2) + (25 - 10k + k^2) = 110
Segunda equação:
h^2 + k^2 - 6h - 10k + 34 = 110
h^2 + k^2 - 6h - 10k = -33910

Passo 5

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (h^2 + k^2 - 6h - 10k) - (h^2 + k^2 - 2h - 6k) = -33910 - (-9910) :
-4h - 4k = -24010
-4h - 4k = -24
h + k = 6
Dividindo tudo por -4:

Passo 6

Agora temos uma relação entre k = 6 - h e : . Vamos expressar em termos de :

Passo 7

Vamos substituir h^2 + k^2 - 2h - 6k = -9910 em uma das equações originais para encontrar o valor de h^2 + (6 - h)^2 - 2h - 6(6 - h) = -9910 . Vamos usar a primeira equação simplificada:
h^2 + 36 - 12h + h^2 - 2h - 36 + 6h = -9910
Substituindo 2h^2 - 8h = -9910 :
20h^2 - 80h = -99
Expande:
20h^2 - 80h + 99 = 0
Simplifica:
Multiplicando tudo por 10 para eliminar a fração:

Passo 8

Agora temos uma equação quadrática em 20h^2 - 80h + 99 = 0 :
h = 80 pm raiz(-80)^2 - 4 cdot 20 cdot 992 cdot 20
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
De
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos verificar os passos novamente.

Passo 9

Após revisar os cálculos, percebemos que houve um erro na expansão das equações. Vamos refazer a substituição corretamente:
Voltando à substituição de h^2 + (6 - h)^2 - 2h - 6(6 - h) = -9910 na primeira equação simplificada:
h^2 + 36 - 12h + h^2 - 2h - 36 + 6h = -9910
Expande:
2h^2 - 8h = -9910
Simplifica:
20h^2 - 80h = -99
Agora, multiplica tudo por 10:
20h^2 - 80h + 99 = 0
Essa equação ainda tem discriminante negativo, o que sugere que não há solução real. Isso significa que não existem círculos com o raio dado que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta r.

Resposta

Não existem centros de círculos com raio igual a que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta .

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