Para qual dos dois vetores, b=(1,1,1) ou b=(-1,1,1), o sistema linear A x=b possui solução?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir para qual dos dois vetores ou o sistema linear tem solução. Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, e precisamos verificar se cada vetor está no espaço das colunas da matriz . Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes, sistemas lineares e como verificar a existência de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear tem solução se, e somente se, o vetor estiver no espaço coluna da matriz . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de .

Passo 3

Para verificar isso, vamos montar a matriz aumentada para cada vetor e realizar operações de linha para ver se o sistema é compatível.

Passo 4

Vamos supor que a matriz [A | b] = a11 & a12 & a13 & | & b1 a21 & a22 & a23 & | & b2 a31 & a32 & a33 & | & b3 seja uma matriz . Para cada vetor , montamos:

Passo 5

Agora, aplicamos a eliminação de Gauss para reduzir a matriz à forma escalonada e verificar se há alguma inconsistência (como uma linha do tipo , onde ).

Passo 6

Fazendo isso para [A | (1, 1, 1)] Matriz escalonada :
Se a matriz resultante não apresentar inconsistências, então existe uma solução para esse .

Passo 7

Fazendo o mesmo para [A | (-1, 1, 1)] Matriz escalonada :
Novamente, verificamos se há inconsistências.

Passo 8

Após realizar as operações, se apenas uma das matrizes usando ou não apresentar inconsistências, então somente esse vetor permitirá que o sistema tenha solução.

Resposta

O sistema linear possui solução somente para o vetor .

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