Para qual dos dois vetores, ou , o sistema linear possui solução?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir para qual dos dois vetores ou o sistema linear tem solução. Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, e precisamos verificar se cada vetor está no espaço das colunas da matriz . Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes, sistemas lineares e como verificar a existência de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear tem solução se, e somente se, o vetor estiver no espaço coluna da matriz . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de .
Passo 3
Para verificar isso, vamos montar a matriz aumentada para cada vetor e realizar operações de linha para ver se o sistema é compatível.
Passo 4
Vamos supor que a matriz seja uma matriz . Para cada vetor , montamos:
Passo 5
Agora, aplicamos a eliminação de Gauss para reduzir a matriz à forma escalonada e verificar se há alguma inconsistência (como uma linha do tipo , onde ).
Passo 6
Fazendo isso para :
Se a matriz resultante não apresentar inconsistências, então existe uma solução para esse .
Passo 7
Fazendo o mesmo para :
Novamente, verificamos se há inconsistências.
Passo 8
Após realizar as operações, se apenas uma das matrizes usando ou não apresentar inconsistências, então somente esse vetor permitirá que o sistema tenha solução.
Resposta
O sistema linear possui solução somente para o vetor .