Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta r que: passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(4,5,6);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(4,5,6). Isso envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar um ponto na reta e o vetor diretor dela.

Passo 2

Para encontrar as equações da reta, precisamos de um ponto por onde ela passa e de um vetor que indica a direção da reta. Vamos escolher o ponto A=(1,2,3) como ponto de referência. Agora, vamos encontrar o vetor diretor v, que é a diferença entre os pontos B e A:
v = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

Passo 3

Com o ponto A e o vetor diretor v = (3, 3, 3), podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada ( x, y, z) em função de um parâmetro t:
x = 1 + 3t y = 2 + 3t z = 3 + 3t

Passo 4

Agora, para encontrar as equações simétricas da reta, vamos isolar o parâmetro t nas equações paramétricas:
t = x - 13 = y - 23 = z - 33
Como os denominadores são iguais, podemos simplificar para:
x - 13 = y - 23 = z - 33

Resposta

As equações da reta r que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(4,5,6) são:
Equações Paramétricas:
x = 1 + 3t y = 2 + 3t z = 3 + 3t
Equações Simétricas:
x - 13 = y - 23 = z - 33

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