Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que tem várias afirmações sobre matrizes de transição entre bases de um espaço vetorial. A gente vai precisar entender o que são bases, matrizes de transição e algumas propriedades delas para resolver cada parte.
Passo 2
Parte (a):Se e forem bases de um espaço vetorial , então existe uma matriz de transição de para .
Verdadeiro.
Uma matriz de transição é usada para converter coordenadas de uma base para outra. Como e são bases de , cada vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . Assim, existe uma matriz que faz essa conversão.
Passo 3
Parte (b):Matrizes de transição são invertíveis.
Verdadeiro.
Como uma matriz de transição converte coordenadas de uma base para outra e ambas as bases têm o mesmo número de vetores (já que são de um espaço vetorial), a matriz de transição é quadrada. Além disso, ela tem inversa porque podemos voltar de para usando a matriz inversa. Isso significa que a matriz de transição é invertível.
A matriz de transição de uma base para ela mesma não altera as coordenadas dos vetores, ou seja, ela deixa tudo igual. Isso é exatamente o que faz a matriz identidade, que tem 1s na diagonal principal e 0s nos demais lugares.
Passo 5
Parte (d):Se for uma matriz diagonal, então cada vetor em é um múltiplo escalar de algum vetor em .
Verdadeiro.
Uma matriz diagonal significa que cada vetor de é obtido multiplicando um único vetor de por um escalar. Ou seja, não há combinações dos diferentes vetores de , apenas multiplicações escalares individuais.
Passo 6
Parte (e):Se cada vetor em for um múltiplo escalar de algum vetor em , então é uma matriz diagonal.
Verdadeiro.
Se cada vetor de é apenas um múltiplo de um vetor em , a matriz de transição que converte de para vai ter esses escalares na diagonal e zeros no resto, formando uma matriz diagonal.
Passo 7
Parte (f):Se for uma matriz quadrada, então , usando certas bases e de .
Falso.
Nem toda matriz quadrada pode ser vista como uma matriz de transição entre duas bases. Somente matrizes que são invertíveis (ou seja, que têm determinante diferente de zero) podem ser matrizes de transição. Portanto, se não for invertível, não pode ser uma matriz de transição.
Resposta
Todas as afirmações (a) a (e) são verdadeiras, e a afirmação (f) é falsa.