Seja a transformação linear dada por
verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existe algum vetor em que, ao aplicar a transformação linear , resulta no vetor nulo em . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como resolver equações lineares para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação linear . Ela pega um vetor de três componentes, , e transforma em um vetor de duas componentes:
Queremos encontrar um vetor tal que . Isso significa resolver as seguintes equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira com sinal invertido:
Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, representam a mesma condição. Então, realmente, temos apenas uma equação para três incógnitas:

Passo 4

Como temos mais variáveis do que equações, podemos expressar algumas variáveis em função de outras. Vamos resolver para :
Isso significa que, para qualquer valor que escolhamos para e , podemos encontrar que satisfaz a equação. Portanto, existem infinitos vetores em que são mapeados para o vetor nulo em pela transformação .

Resposta

Sim, existem vetores não nulos em que, ao serem transformados por , resultam no vetor nulo. Esses vetores são da forma , onde e são quaisquer números reais.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte sistema linear nas variáveis :
Resolva este sistema pelo método de Gauss-Jordan.
Considere os pontos .
Determine as coordenadas do ponto da reta , que pertence ao plano .
Sejam as matrizes:
Determine matriz .
Determine a imagem dos seguintes vetores, através da transformação
.
a)