Seja a transformação linear
dada por
verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existe algum vetor em
que, ao aplicar a transformação linear
, resulta no vetor nulo em
. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como resolver equações lineares para achar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação linear
. Ela pega um vetor de três componentes,
, e transforma em um vetor de duas componentes:
Queremos encontrar um vetor
tal que
. Isso significa resolver as seguintes equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
. Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira com sinal invertido:
Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, representam a mesma condição. Então, realmente, temos apenas uma equação para três incógnitas:
Passo 4
Como temos mais variáveis do que equações, podemos expressar algumas variáveis em função de outras. Vamos resolver para
:
Isso significa que, para qualquer valor que escolhamos para
e
, podemos encontrar
que satisfaz a equação. Portanto, existem infinitos vetores em
que são mapeados para o vetor nulo em
pela transformação
.
Resposta
Sim, existem vetores não nulos em
que, ao serem transformados por
, resultam no vetor nulo. Esses vetores são da forma
, onde
e
são quaisquer números reais.