Seja a transformação linear T: R^3 R^2 dada por
T(x1, x2, x3)=(x1+2 x2-3 x3,-2 x1-4 x2+6 x3) verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existe algum vetor em R^3 que, ao aplicar a transformação linear T, resulta no vetor nulo em R^2. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como resolver equações lineares para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação linear T. Ela pega um vetor de três componentes, (x1, x2, x3), e transforma em um vetor de duas componentes:
T(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 - 3x3, -2x1 - 4x2 + 6x3)
Queremos encontrar um vetor (x1, x2, x3) tal que T(x1, x2, x3) = (0, 0). Isso significa resolver as seguintes equações:
x1 + 2x2 - 3x3 = 0 -2x1 - 4x2 + 6x3 = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x1, x2 e x3. Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira com sinal invertido:
-2(x1 + 2x2 - 3x3) = -2x1 -4x2 +6x3
Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, representam a mesma condição. Então, realmente, temos apenas uma equação para três incógnitas:
x1 + 2x2 - 3x3 = 0

Passo 4

Como temos mais variáveis do que equações, podemos expressar algumas variáveis em função de outras. Vamos resolver para x1:
x1 = -2x2 + 3x3
Isso significa que, para qualquer valor que escolhamos para x2 e x3, podemos encontrar x1 que satisfaz a equação. Portanto, existem infinitos vetores em R^3 que são mapeados para o vetor nulo em R^2 pela transformação T.

Resposta

Sim, existem vetores não nulos em R^3 que, ao serem transformados por T, resultam no vetor nulo. Esses vetores são da forma (-2x2 + 3x3, x2, x3), onde x2 e x3 são quaisquer números reais.

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