Considere os pontos A = (1, 2, -1), B = (0, 3, 1) e C = (-2, 0, 2). Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos A=(1,2,-1), e C = (-2, 0, 2). Isso faz parte da geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso calculando os vetores e . Para achar , subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
E para :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular tanto a quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial desses vetores:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal e um ponto no plano (vamos usar o ponto A), podemos escrever a equação geral do plano:
Substituindo , b = -3, c = 5 e as coordenadas de A (1, 2, -1):
Expandindo e simplificando:

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é:

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