Encontre a distância entre o ponto e o plano, nos seguintes casos:
(3,1,-2) ; x + 2y - 2z = 4 (-1,-1,2) ; 2x + 5y - 6z = 4 (-1,2,1) ; 2x + 3y - 4z = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre um ponto e um plano em três casos diferentes. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar identificar as coordenadas do ponto e os coeficientes da equação do plano para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano dado pela equação . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente calcula a distância perpendicular entre o ponto e o plano.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o primeiro caso:
Ponto:
Plano:
Primeiro, precisamos reescrever a equação do plano na forma . Isso fica:
Aqui, identificamos os coeficientes:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Calculando o numerador:
Somando esses valores:
Então, o valor absoluto do numerador é .

Passo 6

Calculando o denominador:

Passo 7

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é aproximadamente unidades.

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