Determine se os planos são perpendiculares, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra determinar se alguns planos são perpendiculares. Pra isso, vamos trabalhar com vértices e equações de planos. O que vamos precisar é entender como identificar os vetores normais desses planos e ver se eles são perpendiculares usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui, o vetor é chamado de vetor normal ao plano. Esse vetor é super importante porque é ele que vai nos ajudar a determinar se os planos são perpendiculares.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais de cada plano dado no exercício:
  1. Para o plano , o vetor normal é .
  2. Para o plano , o vetor normal é .
  3. Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores e é calculado assim:
Se , então e são perpendiculares.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais dos planos:
  1. Entre e :
  1. Entre e :
  1. Entre e :

Passo 6

Agora, vamos analisar os resultados dos produtos escalares:
  • ➔ os planos 1 e 2 não são perpendiculares.
  • ➔ os planos 1 e 3 não são perpendiculares.
  • ➔ os planos 2 e 3 não são perpendiculares.

Resposta

Nenhum dos planos apresentados é perpendicular aos outros.

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Calcule:
Determine se os planos são paralelos, nos seguintes casos:
Considere os pontos e . Determine a equação do plano que passa pelos pontos e C.
Encontre a distância entre o ponto e o plano, nos seguintes casos: