Determine se os planos são perpendiculares, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra determinar se alguns planos são perpendiculares. Pra isso, vamos trabalhar com vértices e equações de planos. O que vamos precisar é entender como identificar os vetores normais desses planos e ver se eles são perpendiculares usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Aqui, o vetor
é chamado de vetor normal ao plano. Esse vetor é super importante porque é ele que vai nos ajudar a determinar se os planos são perpendiculares.
Passo 3
Vamos identificar os vetores normais de cada plano dado no exercício:
- Para o plano
, o vetor normal é . - Para o plano
, o vetor normal é . - Para o plano
, o vetor normal é .
Passo 4
Agora, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é calculado assim:
Se
, então
e
são perpendiculares.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais dos planos:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 6
Agora, vamos analisar os resultados dos produtos escalares:
-
➔ os planos 1 e 2 não são perpendiculares. -
➔ os planos 1 e 3 não são perpendiculares. -
➔ os planos 2 e 3 não são perpendiculares.
Resposta
Nenhum dos planos apresentados é perpendicular aos outros.
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Calcule:
Determine se os planos são paralelos, nos seguintes casos:
Considere os pontos
e
. Determine a equação do plano que passa pelos pontos
e C.
Encontre a distância entre o ponto e o plano, nos seguintes casos: