Considere os pontos e . Determine o vetor altura A C-projA B A C em relação ao lado A B do triângulo A B C e calcule sua área.
Passo 1
Então, a gente tem um triângulo formado pelos pontos A=(1,1), B=(0,3) e C=(2,4). A tarefa é encontrar o vetor altura H C em relação ao lado A B e calcular a área do triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção de vetores e fórmula da área de um triângulo usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor A C. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das de C:
A C = C - A = (2-1, 4-1) = (1, 3)
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor A B:
A B = B - A = (0-1, 3-1) = (-1, 2)
Passo 4
Para calcular a projeção de A C sobre A B, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre outro vetor v:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u = A C = (1, 3) e v = A B = (-1, 2).
Passo 5
Calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(-1) + (3)(2) = -1 + 6 = 5
E o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projA B A C = ( 55 ) A B = 1 cdot (-1, 2) = (-1, 2)
Passo 7
Com a projeção calculada, podemos encontrar o vetor altura H C:
H C = A C - projA B A C = (1, 3) - (-1, 2) = (1 + 1, 3 - 2) = (2, 1)
Passo 8
Para calcular a área do triângulo A B C, podemos usar a metade do módulo do produto vetorial entre A B e H C:
Área = 12 | A B times H C | Á
Calculamos o produto vetorial em duas dimensões como:
A B times H C = (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5
O módulo é 5, então:
Área = 12 times 5 = 2,5 Á
Resposta
O vetor altura é H C = (2, 1) e a área do triângulo A B C é 2,5 unidades quadradas.