Considere os pontos A=(1,1), B=(0,3) e C=(2,4). Determine o vetor altura H C= A C-projA B A C em relação ao lado A B do triângulo A B C e calcule sua área.

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo formado pelos pontos A=(1,1), B=(0,3) e C=(2,4). A tarefa é encontrar o vetor altura H C em relação ao lado A B e calcular a área do triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção de vetores e fórmula da área de um triângulo usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor A C. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das de C:
A C = C - A = (2-1, 4-1) = (1, 3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor A B:
A B = B - A = (0-1, 3-1) = (-1, 2)

Passo 4

Para calcular a projeção de A C sobre A B, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre outro vetor v:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u = A C = (1, 3) e v = A B = (-1, 2).

Passo 5

Calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(-1) + (3)(2) = -1 + 6 = 5
E o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projA B A C = ( 55 ) A B = 1 cdot (-1, 2) = (-1, 2)

Passo 7

Com a projeção calculada, podemos encontrar o vetor altura H C:
H C = A C - projA B A C = (1, 3) - (-1, 2) = (1 + 1, 3 - 2) = (2, 1)

Passo 8

Para calcular a área do triângulo A B C, podemos usar a metade do módulo do produto vetorial entre A B e H C:
Área = 12 | A B times H C | Á
Calculamos o produto vetorial em duas dimensões como:
A B times H C = (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5
O módulo é 5, então:
Área = 12 times 5 = 2,5 Á

Resposta

O vetor altura é H C = (2, 1) e a área do triângulo A B C é 2,5 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache também a área do triângulo via produto vetorial.
Dados os vetores u=(1,2,-1) e v=(2,1,0). Expresse o vetor a=(2,2,3) como combinação de u, v, u times v;
Defina uma relação R sobre R^2, como sendo: forall(a, b),(c, d) in R^2
(a, b) R(c, d) Long<=ftrightarrow a^2+b^2=c^2+d^2
Mostre que R é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalências:
[(0,0)],[(1,1)],[(1,2)]
Descreva todas as classes de equivalências de R.
Defina uma relação R sobre Q, como sendo: forall x, y in Q
x R y Long<=ftrightarrow 2(x-y) in Z
Mostre que R é uma relação de equivalência. Descreva as classes [0] e [( 14)].